Bài 101281

Question

Viết phương trình mặt cầu

$(S )$ có tâm nằm trên đường thẳng

$(d):\left\{ \begin{array}{l} x + y + z + 1 = 0\\ x - y + z - 1 = 0 \end{array} \right.$ và tiếp xúc với hai mặt phẳng

$(P_1): x + 2y + 2z + 3 = 0; (P_2): x + 2y + 2z + 7 = 0$

score 0 · Answer 1

Do (P1) // (P2), nên khoảng cách giữa (P1), (P2) là khoảng cách h từ M1(-3,0,0) thuộc (P1) xuống (P2), và

$h = \frac{{\left| { - 3 + 7} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{3}$ .
Từ đó do (S ) tiếp xúc với (P1), (P2) nên bán kính hình cầu

$R = \frac{h}{2} = \frac{2}{3}$ .
Gọi

$I({x_0},{y_0},{z_0})$ là tâm của (S ). Do I thuộc (d) nên ta có

$\left\{ \begin{array}{l} {x_0} + {y_0} + {z_0} + 1 = 0\\ {x_0} - {y_0} + {z_0} - 1 = 0 \end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{(1)}}}\\ {{\rm{(2)}}} \end{array}{\rm{ }}$
Theo bài ra ta có

$d(I;(P_1))=d(I;(P_2))\Rightarrow \frac{{\left| {{x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} + 3} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{\left| {{x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} + 7} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{2}{3}$

$\left| {{x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} + 3} \right| = \left| {{x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} + 7} \right| = 2$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} + 3 = 2}\\ {{x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} + 3 = - 2} \end{array}} \right.}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} + 7 = 2}\\ {{x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} + 7 = - 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$