Bài 101285

Question

Cho điểm

$I(1,2,-2)$ , đường thẳng

$(d):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 2x - y - 5 = 0\\ y - z + 3 = 0 \end{array}} \right.$ và mặt phẳng

$(P):2x + 2y + z + 5 = 0$
a. Viết phương trình mặt cầu

$(S )$ có tâm là

$I$ , sao cho

$(P)$ cắt

$(S )$ theo đường tròn giao tuyến có chu vi bằng

$8\pi$
b. Lập phương trình mặt phẳng chứa

$(d)$ và tiếp xúc với

$(S )$
c. Chứng minh rằng

$(d)$ tiếp xúc với

$(S )$

score 0 · Answer 1

a. Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến, ta có

$2\pi r = 8\pi \Rightarrow r = 4$
Khoảng cách từ I tới (P) là h, với

$h = \frac{{\left| {2 + 4 - 2 + 5} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3$
Vậy (S ) có bán kính

$R = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = \sqrt {9 + 16} = 5$
Vì lẽ đó (S ) có phương trình

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 2)^2} = 25$

b. Gọi (Q) là tiếp diện. Vì (Q) chứa (d), nên (Q) thuộc chùm mặt phẳng

$\alpha \left( {2x - y - 5} \right) + \beta \left( {y - z + 3} \right) = 0$
Rõ ràng

$\alpha \ne 0$ , nên có thể viết lại chùm mặt phẳng dưới dạng

$(Q_m):\left( {2x - y - 5} \right) + m\left( {y - z + 3} \right) = 0$ hay

$2x + (m - 1)y - mz + 3m - 5 = 0$
Ta có phương trình sau để xác định m

$d(I;(Q_m))=R\Rightarrow \frac{{\left| {2 + 2(m - 1) + 2m + 3m - 5} \right|}}{{\sqrt {4 + {{(m - 1)}^2} + {m^2}} }} = 5 \Leftrightarrow \left| {7m - 5} \right| = 5\sqrt {2{m^2} - 2m + 5}$

$\Leftrightarrow 49{m^2} - 70m + 25 = 50{m^2} - 50m + 125 \Leftrightarrow {m^2} + 20m + 100 = 0$

$\Leftrightarrow {(m + 10)^2} = 0 \Rightarrow m = - 10$
Vậy tiếp diện (Q) có phương trình

$2x - 11y + 10z - 35 = 0$

c. Đường thẳng (d) có véc tơ chỉ phương

$\overrightarrow u = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0\\ 1&{ - 1} \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&2\\ { - 1}&0 \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 0&1 \end{array}} \right|} \right) = (1,2,2)$
Rõ ràng điểm M(0,-5,-2) thuộc (d).
Vậy khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng (d) là h1, với

${h_1} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$ .
Do

$\overrightarrow {IM} = ( - 1, - 7,0)$ nên

$\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 7}&0\\ 2&2 \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 2&{ - 1} \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ { - 1}&{ - 7} \end{array}} \right|} \right) = ( - 14, - 2, - 5)$
Do vậy