Bài 101377

Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ Đề các

$Oxyz$ , cho các điểm

$A\left( {a,0,0} \right);B\left( {0,b,0} \right);C\left( {0,0,c} \right)$ . Trong đó

$a, b, c$ là các số dương.

$1$ . Chứng minh tam giác

$ABC$ có ba góc nhọn

$2$ . Xác định bán kính và tọa độ tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

$OABC$

$3$ . tìm tọa độ điểm

$O’$ đối xứng

$O$ qua

$(ABC)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/26/2012 11:34:22 AM

$1$ . Trước hết chú ý rằng

$\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} \Rightarrow \widehat A$ nhọn

$\Leftrightarrow \cos A > 0 \Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} - B{C^2} > 0$
Mà

$A\left( {a,0,0} \right);B\left( {0,b,0} \right);C\left( {0,0,c} \right) \Rightarrow A{B^2} = {a^2} + {b^2};B{C^2} = {b^2} + {c^2};C{A^2} = {c^2} + {a^2}$
Nên

$A{B^2} + B{C^2} - C{A^2} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} + {c^2}} \right) - \left( {{c^2} + {a^2}} \right) = 2{b^2} > 0$

$\Rightarrow \widehat {BAC}$ nhọn
Tương tự

$\widehat {ABC};\widehat {BCA}$ đều là những góc nhọn. Suy ra tam giác

$ABC$ có ba góc nhọn

$2$ . Dựng hình hộp nhận

$OA, OB, OC$ làm

$3$ cạnh thì hình cầu ngoại tiếp hình hộp cũng là hình cầu ngoại tiếp tứ diện

$OABC$ . Hình cầu này nhận đường chéo

$OD$ của hình hộp làm đường kính và đỉnh

$D$ của hình hộp có tọa độ

$(a, b, c)$ , do đó bán kính hình cầu ngoại tiếp là

$R = \frac{1}{2}OD = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$
Và tâm

$I$ là trung điểm của

$OD, I$ có tọa độ

$\left( {\frac{a}{2},\frac{b}{2},\frac{c}{2}} \right)$

$3$ . Mặt phẳng

$ABC$ có phương trình

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$ . Gọi

$H$ là hình chiếu vuông góc của

$O$ xuống

$(ABC)$ thì đường thẳng

$HO$ nhận vectơ pháp

$\left( {\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}} \right)$ của (ABC) làm vecto chỉ phương. Đường thẳng

$HO$ qua

$O (0, 0, 0)$ với vecto chỉ phương

$\overrightarrow u \left( {\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}} \right)$

$\Rightarrow HO$ có phương trình

$x = \frac{1}{a}t;y = \frac{1}{b}t;z = \frac{1}{c}t$
Thế vào phương trình

$(ABC)$ ta được

$\frac{1}{{{a^2}}}t + \frac{1}{{{b^2}}}t + \frac{1}{{{c^2}}}t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)t = 1 \Leftrightarrow t = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}$
và H có tọa độ:

$\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}\\ y = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}\\ z = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}} \end{array} \right.$

$O’$ là điểm đối xứng của

$O$ qua

$(ABC)$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {{\rm{OO}}'} = 2\overrightarrow {OH} \Leftrightarrow {x_{O'}} = 2{x_{H'}};{y_{O'}} = 2{y_{H'}};{z_{O'}} = 2{z_{H'}}$
Do đó

$O’$ có tọa độ

$x = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};y = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};z = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}$

Bài 101377

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101377

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan