Bài 101380

Question

Giải các bất phương trình:

$\begin{array}{l} \sqrt {3 + 5x - 2x^2} + 3 > 3x.5^{ - x}.\sqrt {3 + 5x - 2x^2} + 9x.5^{ - x} (1)\\ \end{array}$

Tiểu Bắc · Answer 1 · 4/26/2012 11:36:43 AM

$1)$
ĐK:

$3 + 5x - 2{x^2} \ge 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, - \frac{1}{2} \le x \le 3$
Khi đó ta có

$(1) \Leftrightarrow \left( {\sqrt {3 + 5x - 2{x^2}} + 3} \right)\left( {1 - 3x{{.5}^{ - x}}} \right) > 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{5^x} - 3x > 0$
Đặt

$y = \,{5^x} - 3x$ . Ta chứng minh :

$\min y > 0\,\,\,\,\forall x \in \left[ { - \frac{1}{2},3} \right]$
Ta có

$\begin{array}{l} y' = {5^x}\ln 5 - 3\\ y' = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{5^x} = \frac{3}{{\ln 5}}\,\,\, \Leftrightarrow x = {x_0} = {\log _5}\left( {\frac{3}{{\ln 5}}} \right) \end{array}$
Hàm số

$y'$ tăng nên khi

$x$ qua

${x_0}$ thì đổi dấu từ âm sang dương:
Ta có

$\min y > 0\,\,\, \Leftrightarrow \frac{3}{{\ln 5}} > 3{\log _5}\left( {\frac{3}{{\ln 5}}} \right)$

$\Leftrightarrow {\log _5}e > {\log _5}\left( {\frac{3}{{\ln 5}}} \right)\,\,\, \Leftrightarrow e > \frac{3}{{\ln 5}}\,\, \Leftrightarrow \ln 5 > \frac{3}{e}$
Ta có

$\frac{3}{e} < 1,2 = \frac{6}{5} = \ln {e^{\frac{6}{5}}} < \ln {3^{\frac{6}{5}}} < \ln 5\,\,\,\,$ do

$({3^6} < {3^5})$
Do đó

$\ln 5 > \frac{3}{e}$ . Vậy

$\min \,y > 0 \Leftrightarrow y > 0$

Kết luận : nghiệm của

$(1)$ là:

$\left[ { - \frac{1}{2},3} \right]$