Bài 101429

Question

Trong không gian với hệ tọa độ

$Oxyz$ , cho điểm

$M(2 ; 1 ; 0)$ và đường thẳng

$(d)$ :

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{ - 1}$ .Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm

$M$ , cắt và vuông góc với đường thẳng

$d$ và tìm điểm đối xứng

$M’$ với

$M$ qua

$d$

score 0 · Answer 1

+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d.
d có phương trình tham số là:

$\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 1 + t\\ z = - t \end{array} \right.$
Vì H thuộc d nên tọa độ H (1 + 2t;1 + t;t). Suy ra :

$\overrightarrow {MH}$ = (2t-1 ;- 2 + t ;-t)
Vì MH thuộc d và d có một vectơ chỉ phương là

$\vec u$ = (2 ; 1 ; -1), nên :

$2.(2t – 1) + 1.(-2 + t) + (- 1).(-t) = 0\Rightarrow t = \frac{2}{3}$ .
Vì thế,

$\overrightarrow {MH} = \left( {\frac{1}{3}\,\,;\,\, - \frac{4}{3}\,\,;\,\, - \frac{2}{3}} \right)$

$\overrightarrow {{u_{MH}}} = 3\overrightarrow {MH} = (1; - 4; - 2)$
Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là:

$\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 4}} = \frac{z}{{ - 2}}$

+) Theo trên có

$H(\frac{7}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{2}{3})$ mà H là trung điểm của MM’ nên M’

$\left\{ \begin{array}{l} x_M'=2x_H-x_M\\ y_M'=2y_H-y_M \end{array} \right.\Rightarrow M(\frac{8}{3}; - \frac{5}{3}; - \frac{4}{3})$

1 Đáp án