Bài 101458

Question

Trong không gian

$Oxyz$ cho điểm

$A(3;2;3)$ và hai đường thẳng

$d_1:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 3}{ - 2}$ và

$d_2:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 4}{ - 2} = \frac{z - 3}{1}$ . Chứng minh đường thẳng

$d_1; d_2$ và điểm

$A$ cùng nằm trong một mặt phẳng. Xác định toạ độ các đỉnh

$B$ và

$C$ của tam giác

$ABC$ biết

$d_1$ chứa đường cao

$BH$ và

$d_2$ chứa đường trung tuyến. Chứng minh của tam giác

$ABC$ .

score 0 · Answer 1

$d_1 qua M_0(2;3;3)$ có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow a = (1;1; - 2)$

$d_2 qua M_1(1;4;3)$ có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow b = (1; - 2;1)$
Ta có

$\left[ {\overrightarrow {a,} \overrightarrow {b} } \right] \ne \overrightarrow 0 \,\,\,\,va\,\,\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\overrightarrow {{M_0}{M_1}} = 0$
Suy ra

$d_1,d_2$ thuộc cùng 1 mặt phẳng. Gọi mp đó là (P), ta có
(P) :

$x + y + z – 8 = 0 \Rightarrow A \in (P)$

$B \in BH\Rightarrow B(2 + t;3 + t;3 - 2t)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_M=\frac{x_a+x_B}{2}\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}\\z_M=\frac{z_A+z_B}{2} \end{array} \right.\Rightarrow M\left( {\frac{{t + 5}}{2};\frac{{t + 5}}{2};3 - t} \right)$
Mà

$M\in d_2\Rightarrow t = - 1\Rightarrow M(2;2;4)\Rightarrow B(1;2;5)$

$C \in CM\Rightarrow C( 1+t;4-2t;3+t) ; AC \bot d_1\Rightarrow \overrightarrow {AC}.\overrightarrow a=0 \Rightarrow t = 0 \Rightarrow C(1;4;2)$