|
|
Điểm M(x, y) thuộc đồ thị thì x khác 1 và y=12(x−2+4x−1).
Tổng các khoảng cách từ M đến các trục là:
f(x)=|x|+12|x−2+4x−1|,x∈(−∞,1)∪(1,+∞)
{x+12(x−2+4x−1),x∈(1,+∞)|x|−12(x−2+4x−1),x∈(−∞,1)
TH1. Xét f(x) với x > 1
Ta có f′(x)=1+12−2(x−1)2= 32−2(x−1)2
f′(x)=0⇔(x−1)2=43⇔x=−1=2√3,x=1+2√3
f’(x) < 0 khi x∈(1,1+2√3) và f’(x) > 0 khi x∈(1+2√3,+∞)
Vậy min khi x = 1 + \frac{2}{{\sqrt 3 }}
TH2. Xét f(x) với 0 \leq x < 1.
Khi đó
f\left( x \right) = \frac{x}{2} - \frac{2}{{x - 1}} + 1,f'\left( x \right) = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0
Vậy \mathop {\min }\limits_{0 \le x < 1} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2
TH3. Xét f(x) với x < 0.
Khi đó
f\left( x \right) = - x - \frac{1}{2}\left[ {\left( {x - 2} \right) + \frac{4}{{x - 1}}} \right]
f'\left( x \right) = - \frac{3}{2} + \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}, f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}
f’(x) < 0 khi x < 1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }} và f(x) > 0 khi x > 1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}.
Vậy \mathop {\min }\limits_{x < 0} f\left( x \right) = - \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) + 1 - \frac{2}{{ - \frac{2}{{\sqrt 3 }}}} = - \frac{1}{2} + 2\sqrt 3
So sánh ta thấy \mathop {\min }\limits_{x \ne 1} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2.
Vậy M(0;-3) là điểm cần tìm.
|