Bài 101742

Question

Cho :

$f(x) = 9\frac{2^x + 2^{- x} - 2}{2^x + 2^{ - x} + 2} + 3p\frac{2^x - 1}{2^x + 1} + q$
Tìm giá trị của

$p, q$ để giá trị lớn nhất của

$y = \left| {f(x)} \right|$ trên đoạn

$\left[ - 1,1 \right]$ là nhỏ nhất.

dhsp1987 · Answer 1 · 9/10/2012 10:08:30 AM

Viết

$f(x) = 9\frac{{{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{2^x} + 1} \right)}^2}}} + 3{\rm p}\frac{{{2^x} - 1}}{{{2^x} + 1}} + q$
Đặt

$t = \frac{{{2^x} - 1}}{{{2^x} + 1}}=1-\frac{2}{2^x+1}$ Với

$- 1 \le x \le 1\,\,\, \Rightarrow \,\,\, - \frac{1}{3} \le t \, \le \frac{1}{3}$

$\begin{array}{l} F(t) = 9{t^2} + 3{\rm p}t + q\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{F^ / }(t) = 18t + 3{\rm p}\\ {F^ / }(t) = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,t = - \frac{{\rm p}}{6} \end{array}$
Hàm số

$F(t) = 9{t^2} + 3{\rm p}t + q$ nghịch biến trong

$\left( { - \infty , - \frac{{\rm p}}{6}} \right)$ và đồng biến trong

$\left( { - \frac{{\rm p}}{6},\, + \infty } \right)$

$a)\,\,\, - \frac{{\rm p}}{6} \le - \frac{1}{{3\,}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\rm p} \ge 2$
Hàm số tăng trên

$\left[ { - \frac{1}{3},\frac{1}{3}} \right]$ nên

$M = \mathop {Max}\limits_{ - 1 \le x \le 1} \left| {f\left( x \right)} \right| = \mathop {Max}\limits_{ - \frac{1}{3} \le t \le \frac{1}{3}} \left| {F\left( t \right)} \right| = \mathop {Max}\limits_{} \left[ {\left| {F\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)} \right|,\left| {F\left( {\frac{1}{3}} \right)} \right|} \right]$
M nhỏ nhất khi

$F\left( {\frac{1}{3}} \right) = - F\left( { - \frac{1}{3}} \right)\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,1 + {\rm p} + q = - \left( {1 - {\rm p} + q} \right)$

$\Leftrightarrow \,\,\,q = - 1\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,M = \left| {\rm p} \right|$ . Do

${\rm p} \ge 2$ nên

$\min \,{\rm p} = 2$
Với

${\rm p} \ge 2$ thì

$\min M = 2$ khi

${\rm p} = 2,\,\,q = - 1$

$b)\,\,\, - \frac{1}{3} \le - \frac{{\rm p}}{6} \le 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,0 \le \,{\rm p} \le \,2$

$\,\,\,\,\,M = \mathop {Max}\limits_{} \left[ {\left| {F\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)} \right|,\left| {F\left( { - \frac{{\rm p}}{6}} \right)} \right|} \right]$ nhỏ nhất khi

$F\left( {\frac{1}{3}} \right) = - F\left( { - \frac{{\rm p}}{6}} \right)\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,1 + {\rm p} + q = - \left( {q - \frac{{{{\rm P}^2}}}{4}} \right)$

$\Leftrightarrow \,\,\,{\left( {{\rm p} - 2} \right)^2}\,\,8\left( {1 + q} \right),$ từ đó:

$M = 1 + {\rm p} + q = {\rm p} + \frac{{{{\left( {{\rm p} - 2} \right)}^2}}}{8} = \frac{{{{\left( {{\rm p} + 2} \right)}^2}}}{8}$
M nhỏ nhất khi

${\rm p} = 0\,\,\,$ và

$\min \,M\, = \frac{1}{2}$

${\rm p} = 0\,\,\, \Rightarrow \,\,\,q = - \frac{1}{2}$

$c)\,\,\,0 \le - \frac{{\rm p}}{6} \le \frac{1}{3}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, - 2 \le {\rm p} \le 0$
Tương tự như trường hợp

$b)$ ta có:

$\min \,M = \frac{1}{2},\,\,\,{\rm p} = 0,\,\,q = - \frac{1}{2}$

$d)\,\,\,\frac{1}{3} \le - \frac{{\rm p}}{6}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\rm p} \le - 2$
Tương tự như trường hợp

$a)$ ta có:

$\min \,M = 2,\,\,\,{\rm p} = - 2,\,\,q = - 1$
Từ

$4$ trường hợp trên ta suy ra:
- Khi