Bài 101810

$S = {a^2} - {(b - c)^2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}bc\sin A =b^2+c^2- 2bc\cos A - {b^2} + 2bc - {c^2}$

    $\begin{array}{l}  \Leftrightarrow \frac{1}{2}bc\sin A = 2bc(1 - \cos A)\\  \Leftrightarrow bc\sin \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{A}{2} = 4bc{\sin ^2}A\\  \Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{A}{2} = 4\sin \frac{A}{2} \end{array}$

    (Do $\sin \frac{A}{2} > 0$)

     $\begin{array}{l} \Leftrightarrow tan\frac{A}{2} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{2tan\frac{A}{2}}}{{1 - tan^{2}\frac{A}{2}}} = \frac{{2.\frac{1}{4}}}{{1 - \frac{1}{{16}}}}\\ \Leftrightarrow tanA = \frac{8}{{15}} \end{array}$

Đó là dpcm

Nhận xét

$1/$ Từ $tan\frac{A}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow tanA = \frac{8}{{15}}$. Ngược lại trong $1$ tam giác thì từ $tanA = \frac{8}{{15}}$ $$\Rightarrow 4tan^{2}\frac{A}{2} + 15tan\frac{A}{2} - 4 = 0$$ do $$tan\frac{A}{2} > 0$$ nên suy ra $$tan\frac{A}{2} = \frac{1}{4}$$

Vậy trong tam giác $ABC$ thì $$tan\frac{A}{2} = \frac{1}{4}$$ $$\Leftrightarrow tanA = \frac{8}{{15}}$$

Chú ý rằng nếu không phải tam giác thì   $tan\frac{A}{2} = \frac{1}{4}$ không tương đương với $tanA = \frac{8}{{15}}$

$2/$ Vì $S = {a^2} - {(b - c)^2} \Leftrightarrow tanA = \frac{8}{{15}}$. Do vậy lớp tam giác thỏa mãn hệ thức trên là khác trống, và chỉ cần xét tam giác $ABC$ có góc A= $${\rm{ar}}ctan\frac{8}{{15}}$$ là thỏa mãn hệ thức đã cho

$3/$ Từ $tanA = \frac{8}{{15}} \Rightarrow \cot A = \frac{{15}}{8}$

Áp dụng định lý hàm số cosin suy rộng,ta có

        $cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\Rightarrow \frac{15}{2}=\frac{b^2+c^2-a^2}{S}$

Vì thế nếu $S = {a^2} - {(b - c)^2}$
 $\Rightarrow 15a^2-15(b-c)^2=ab^2+2c^2-a^2\Rightarrow b^2+c^2-a^2=\frac{30bc}{17}$

Do vậy ta đi đến bài toán sau : Cho tam giác $ABC$ có $$S = {a^2} - {(b - c)^2}$$ hay $tanA = \frac{8}{{15}}$ khi đó ta có hệ thức $\Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = \frac{{30bc}}{{17}}$