Bài 101866

Trong tam giác $ABC$, ta có :

$$r = 4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$$ suy ra :

Theo công thức Euler,ta có:$O{I^2} = {R^2} - 2rR$, suy ra:
 $\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{4} \Leftrightarrow IO = r$

Nhận xét : Rõ ràng lớp tam giác $ABC$ thỏa mãn đề bài là không rỗng.Thật vậy,xét lớp tam giác vuông cân$ABC$($A = {90^0}$).Với lớp này,ta có :
$\begin{array}{l} \sin \frac{A}{2} = \sin {45^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = {\sin ^2}\frac{{45}}{2} = \frac{{1 - c{\rm{os}}{{45}^0}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\\  \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{4} \end{array}$

Ta cũng có thể thấy điều này trong hình học phẳng.Thật vậy,với tam giác vuông cân$ABC$($A = {90^0}$),rõ ràng $IO=r$.Theo trên điều này đồng nghĩa với 
$$\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{4}$$

Vấn đề đặt ra liệu có lớp tam giác nào khác mà vẫn thỏa mãn hệ thức
$\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{4}$không?

Trước hết xét các lớp tam giác ABC cân.Giả sử B=C,khi đó :
$\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{4}$
$\begin{array}{l}  \Leftrightarrow \sin \frac{{\pi  - 2B}}{2}{\sin ^2}\frac{B}{2} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{\begin{array}{l} \end{array}}\\  \Leftrightarrow \cos B\frac{{1 - \cos B}}{2} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{4}\\  \Leftrightarrow 2\cos B(1 - \cos B) = \sqrt 2  - 1\\  \Leftrightarrow 2{\cos ^2}B - 2\cos B + \sqrt 2  - 1 = 0 \end{array}$

Do $cosB>0$                                                       

$$\Rightarrow \cos B = \frac{{1 + \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$ $$\Rightarrow B = C = {45^0} \Rightarrow A = {90^0}$$

Vậy nếu tam giác ABC thỏa mãn hệ thức thì nó phải là tam giác vuông cân.

Bây giờ ta xét lớp tam giác có 1 góc gấp đôi góc kia

Giả sử $B=2C$$\Rightarrow A = {180^0} - 3C$

Ta có $$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$$ nên
 $\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{4}$

$\Leftrightarrow \cos A + \cos B + \cos C = \sqrt 2$

Ta có $\cos A + \cos B + \cos C =  - c{\rm{os}}3C + c{\rm{os}}2C + \cos C$

$= 3\cos C - 4\cos {C^3} + 2\cos {C^2} - 1 + \cos C$

Từ đó suy ra
 $\cos A + \cos B + \cos C = \sqrt 2  \Leftrightarrow$
 $3\cos C - 4\cos {C^3} + 2\cos {C^2} - 1 + \cos C = \sqrt 2$

$\Leftrightarrow 4\cos {C^3} - 2\cos {C^2} - 4\cos C + \sqrt 2  + 1 = 0$

 Xét hàm số : $f(x) = 4{x^3} - 2{x^2} - 4x + \sqrt 2  + 1$ với $0<x<1$

Ta có
  $\begin{array}{l} {m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + b + c)\\ m_a^2 = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{a}\\ m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}({a^2} + {b^2} + {c^2}) = {(\frac{{\sqrt 3 }}{2}a)^2} + {(\frac{{\sqrt 3 }}{2}b)^2} + {(\frac{{\sqrt 3 }}{2}c)^2}(1) \end{array}$                                         

Vậy suy ra $f(\frac{{1 + \sqrt {13} }}{6}) < 0$.Do$f(1) = \sqrt 2  - 1 > 0$,nên tồn tại $\frac{{1 + \sqrt {13} }}{6} < {x_1} < 1$ sao cho $$f({x_1}) = 0$$ .Vì $\frac{{1 + \sqrt {13} }}{6} > \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ nên suy ra nếu chọn góc ${C^*}$=${x_1}$ thì $0 < {x_1} < {45^0}$

Vậy với tam giác $ABC$,với $$C = {C^*},B = 2{C^*},A = {180^0} - 3{C^*}$$ là  tam giác không vuông thỏa mãn hệ thức $\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{4}$

Cần để ý rằng bất đẳng thức $$\frac{{\sqrt 2 }}{2} < \frac{3}{4} < \frac{{1 + \sqrt {13} }}{6} < \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$ là hiển nhiên.Ngoài ra có thể tính trực tiếp để thấy $$f(\frac{{1 + \sqrt {13} }}{6}) < 0$$

Như vậy câu trả lời được xác định như sau :Ngoài lớp tam giác vuông cân,còn có lớp tam giác khác cũng thỏa mãn hệ thức 
 $\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{4}$