Giải
Ta có:
${a^2} + {b^2} - {c^2} = 4{R^2}$$ \Leftrightarrow 4{R^2}(\sin A + \sin B - \sin C) = 4{R^2}$
$\Leftrightarrow sinA^2+sinB^2=1+sinC^2$
$\Leftrightarrow \frac{1-cos2A}{2}+\frac{1-cos2B}{2}=1+sinC^2$
$\Leftrightarrow -cos(A+B)cos(A-B=sinC^2)$
$\Leftrightarrow cosCcos(A-B)=sinC^2 (1)$
Do ${a^2} + {b^2} - {c^2} = 4{R^2}$ $ \Rightarrow {c^2} < {a^2} + {b^2} \Rightarrow 0 < C < {90^0} \Rightarrow \cos C > 0$
Mặt khác $sin(A+B)=sinC>0$, vì thế từ $(1)$ và sau khi chia cả $2$ vế cho$\sin C\cos C$,ta có :
${a^2} + {b^2} - {c^2} = 4{R^2}$$ \Leftrightarrow \frac{{c{\rm{os}}(A - B)}}{{\sin (A + B)}} = tanC$
$ \Leftrightarrow \frac{{\cos A\cos B + \sin A\sin B}}{{\sin A\cos B + \sin B\cos A}} = tanC(2)$
Từ ${a^2} + {b^2} - {c^2} = 4{R^2}$ ta sẽ chứng minh $A\neq {90^0},B\neq {90^0}$
Thật vậy,nếu $A = {90^0} \Rightarrow {a^2} = 4{R^2} \Rightarrow b = c$ (loại vì $ABC$ không phải tam giác vuông cân)
Tương tự suy ra $B\neq {90^0}$.Do đó,sau khi chia cả tử và mẫu số của vế trái cua $(2)$ cho $cosAcosB$,ta có :
${a^2} + {b^2} - {c^2} = 4{R^2}$$ \Leftrightarrow \frac{{tanAtanB + 1}}{{tanAtanB - 1}} = tanC$ $(3)$
Vì $tanC = - {\rm{tan(A + B) = }}\frac{{tanA + tanB}}{{tanAtanB - 1}} > 0$ nên sau khi nhân cả $2$ vế câu $3$ với $tanC$ ,ta đi đến
${a^2} + {b^2} - {c^2} = 4{R^2}$$ \Leftrightarrow \frac{{tanAtanB + 1}}{{tanAtanB - 1}} = tan^2C$
Đó là đpcm.
Nhận xét:
$1/$ Nếu xét bài toán sau đây :tam giác $ABC$ có đắc điểm gì nếu thỏa mãn hệ thức ${a^2} + {b^2} - {c^2} = 4{R^2}$
Khi đó,từ bài toán trên suy ra kết quả sau: Tam giác $ABC$ hoặc là vuông cân đỉnh $A$ (hoặc$ B$) hoặc thỏa mãn hệ thức $\frac{{tanAtanB + 1}}{{tanAtanB - 1}} = tan^2C$
$2/$ Lớp tam giác thỏa mãn hệ thức ${a^2} + {b^2} - {c^2} = 4{R^2}$ là khác rỗng vì ít nhất có lớp tam giác vuông cân $ABC$ ($A = {90^0}$) thỏa mãn
Vấn đề đặt ra là lớp tam giác vuông cân thỏa mãn hệ thức có khác rỗng hay không?
Xét lớp tam giác cân $ABC$ đỉnh $C(CB=CA)$.Khi đó $C = {180^0} - 2A \Rightarrow \sin C = \sin 2A$.Lúc này
${a^2} + {b^2} - {c^2} = 4{R^2} \Leftrightarrow 2\sin {A^2} = 1 + {\sin ^2}2A$
$\Leftrightarrow -sin^2.2A-1+2sinA^2=0$
$-1+cos^22A-cos2A-1=0$
$cos2A=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
$2cosA^2-1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
$cosA^2=\frac{3-\sqrt{5}}{4}\Leftrightarrow cosA=\frac{1}{2\sqrt{3-5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{2}}$
Vậy tồn tại lớp tam giác cân đỉnh C,với $A = B = \arccos \frac{{\sqrt 5 - 1}}{{2\sqrt 2 }}$
-> Liệu có lớp tam giác không cân thỏa mãn hệ thức ${a^2} + {b^2} - {c^2} = 4{R^2}$ ?. Câu trả lời dành cho bạn đọc.