|
|
Trong khai triển $ {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)^6} $ số hạng thứ $ \left( {k + 1} \right),0 \le k \le 6 $ là: $ {T_{k + 1}} = C_6^k{\left( {\sqrt 3 } \right)^{6 - k}}.{\left( {\sqrt {15} } \right)^k} = C_6^k{3^{\frac{{6 - k}}{2}}}{.15^{\frac{k}{2}}} $
$ {T_{k + 1}} $ là một số hữu tỉ và chỉ khi $ \frac{k}{2} $ là một số tự nhiên $ \Leftrightarrow k $ chia sẵn cho 2 $ \Leftrightarrow \,\,\,k \in \left\{ {0,2,4,6} \right\}\,vì {\rm{}}\,0 \le k \le 6. $
Vậy trong khai triển của nhị thức đã cho, các số hạng hữu tỉ là các số hạng 1,3,5,7.
Ta có $ {T_{1 = 27}},\,\,\,\,{T_2} = 2025... $
Vậy trong khai triển $ {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)^6} $ các số hạng hữu tỉ là các số hạng thứ 1,3,5,7.
Ta có:
$ \begin{array}{l}
{T_1} = C_6^0{3^3} = 27;\,\,{T_2} = C_6^3{3^3}.5 = 2025;\,\,{T_5} = C_6^4{3^3}{5^2} = 10125\\
{T_7} = C_6^6{3^3}5_{}^3 = 3375
\end{array} $
|