Bài 102202

Question

Chứng tỏ rằng đường cong

$y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}$ có ba điểm uốn cùng nằm trên một đường thẳng

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 11:42:45 AM

$y' = \frac{{ - {x^2} - 2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'' = \frac{{2\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}}$

$y’’$ triệt tiêu và đổi dấu tại

${x_{1,2}} = - 2 \pm \sqrt 3 ,\,\,{x_3} = 1$
đồ thị có

$3$ điểm uốn với hoành độ

${x_1},{x_2},{x_3}$ . Tính tung độ các điểm uốn:

$\begin{array}{l} {x_1} = - 2 - \sqrt 3 \Rightarrow {y_1} = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{4}\\ {x_2} = - 2 + \sqrt 3 \Rightarrow {y_2} = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{4}\\ {x_3} = 1 \Rightarrow {y_3} = 1 \end{array}$
Các điểm uốn

${A_1}\left( {{x_1},{y_1}} \right);\,{A_2}\left( {{x_2},{y_2}} \right);\,{A_3}\left( {{x_3},{y_3}} \right)$
Ta có

$\begin{array}{l} \overrightarrow {{A_3}{A_2}} = \left( {{x_2} - {x_3},\,{y_2} - {y_3}} \right) = \left( { - 3 + \sqrt 3 ,\,\frac{{ - 3 + \sqrt 3 }}{4}} \right) = \left( { - 3 + \sqrt 3 } \right).\left( {1,\,\frac{1}{4}} \right)\\ \overrightarrow {{A_3}{A_1}} = \left( {{x_1} - {x_3},\,{y_1} - {y_3}} \right) = \left( { - 3 - \sqrt 3 } \right).\left( {1,\,\frac{1}{4}} \right) \end{array}$

$\overrightarrow {{A_3}{A_2}}$ và

$\overrightarrow {{A_3}{A_1}}$ cùng song song với vectơ

$\left( {1,\frac{1}{4}} \right) \Rightarrow {A_1}\,,\,{A_2}\,,\,{A_3}$ thẳng hàng