Bài 102265

Question

Cho tứ diện

$ABCD$ , trong đó

$BC = a,\,AB = AC = b,\,DB = DC = c,\,\,\alpha$ là góc phẳng nhị diện cạnh

$BC\left( {\alpha < \frac{\pi }{2}} \right)$ . Với điều kiện nào đối với

$b, c$ đường thẳng nối điểm giữa

$E$ của

$BC$ với điểm

$F$ của

$AD$ là đường vuông góc chung của

$BC$ và

$AD$ . Với điều kiện vừa tìm được, hãy chứng minh hình cầu đường kính

$CD$ đi qua

$E, F$ và tính thể tích tứ diện đã cho

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 2:48:12 PM

Tìm điều kiện của

$b, c$ để đường thẳng nối điểm giữa

$E$ của

$BC$ và điểm

$F$ của

$AD$ là đường vuông góc chung của

$BC$ và

$AD$ .
Theo giả thiết

$AB = AC = b$ nên tam giác

$ABC$ cân

$\Rightarrow AE \bot BC \left( 1 \right)$
Tương tự

$DB = DC = c$ nên tam giác ABC cân

$\Rightarrow DE \bot BC \left( 2 \right)$
Từ

$(1)$ và

$(2)$

$\Rightarrow BC \bot \left( {EAD} \right) \Rightarrow BD \bot EF$ .
Mặt khác vì

$F$ là trung điểm của

$AD$ nên

${\rm{E}}F \bot AD$

$\Leftrightarrow EA = ED \Leftrightarrow \Delta DBC = \Delta ABC \Leftrightarrow b = c$
Vậy

$EF$ là đường vuông góc chung của

$BC$ và

$AD$

$\Leftrightarrow b = c$
Thử lại thấy nếu

$b=c$ thì

$EF \bot AD, BC$

- Mặt cầu đường kính

$CD$ đi qua

$E, F$ . Thật vậy theo chứng minh trên ta có:

$DE \bot BC \Leftrightarrow \widehat {CED} = {90^0}$
Mặt khác

$BC \bot \left( {EAD} \right) \Rightarrow BC \bot AD$ .
Kết hợp với

${\rm{E}}F \bot AD$ ta được

$AD \bot \left( {FBC} \right) \Rightarrow AD \bot FC \Rightarrow \widehat {CFD} = {90^0}$
Tương tự,

$\widehat {CED} = {90^0}$
Vậy mặt cầu đường kính

$CD$ đi qua

$E, F$

- Ta có

$BC \bot \left( {EAD} \right)$ nên

$\widehat {AED} = \alpha$ là góc phẳng nhị diện cạnh

$BC$ , ta có:

${V_{ABCD}} = {V_{BEAD}} + {V_{CEAD}} = \frac{1}{3}BC.{S_{\Delta EAD}}$
Trong tam giác vuông

$DEC$ ta có:

$\begin{array}{l} D{E^2} = D{C^2} - E{C^2} = {b^2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{4{b^2} - {a^2}}}{4}\\ {S_{\Delta EAD}} = \frac{1}{2}EA.ED\sin \alpha = \frac{1}{8}\left( {4{b^2} - {a^2}} \right)\sin \alpha \\ {V_{ABCD}} = \frac{1}{{24}}a.\sin \alpha \left( {4{b^2} - {a^2}} \right) \end{array}$

Bài 102265

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102265

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan