Bài 102395

Question

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc

$Oxy$ cho elip:

$(E):\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
Và hai đường thẳng

$(D)$ :

$ax - by = 0;(D'):bx + ay = 0$ với

${a^2} + {b^2} > 0$
Gọi

$M, N$ là các giao điểm của

$(D)$ và

$(E): P, Q$ là các giao điểm của

$(D’)$ với

$(E)$

$1$ . Tính diện tích tứ giác

$MNPQ$ theo

$a$ và

$b$

$2$ . Tìm điều kiện đối với

$a, b$ để diện tích tứ giác

$MNPQ$ nhỏ nhất

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 5:44:05 PM

$1$ . Nhận thấy

$2$ bán trục của elip là

$3$ và

$2$ . Ngoài ra

$2$ đường thẳng

$(D)$ và

$(D’)$ vuông góc với nhau, và

$2$ đoạn thằng

$MN,PQ$ nhận

$O$ làm trung điểm.
Nếu

$(D)$ và

$(D’)$ trùng với

$2$ trục tọa độ thì

${S_{MNPQ}} = 12$
Nếu

$(D)$ và

$(D’)$ không trùng với các trục tọa độ, thì với

$a \ne 0,b \ne 0$
Ta có phương trình

$(D)$ :

$y = \frac{a}{b}x\,\,\,\left( 1 \right)$
Phương trình

$(D’)$ :

$y = -\frac{b}{a}x\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Phương trình (elip):

$\Leftrightarrow 4{x^2} + 9{y^2} = 36\,\,\,\,\left( 3 \right)$
*) Tính

$MN$ : Thay

$(1)$ vào

$(3)$ ta được

$4{x^2} + \frac{{9{a^2}{x^2}}}{{{b^2}}} = 36 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{36{b^2}}}{{9{a^2} + 4{b^2}}}$ , từ đó ta có:

${y^2} = \frac{{{a^2}{x^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{36{a^2}}}{{9{a^2} + 4{b^2}}}$
Ta có

$O{M^2} = {x^2} + {y^2} \Rightarrow M{N^2} =4O{M^2}= 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = \frac{{144\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{9{a^2} + 4{b^2}}}$
*) Tính

$PQ$ : thay

$(2)$ vào

$(3)$ ta được

$4{x^2} + \frac{{9{b^2}{x^2}}}{{{a^2}}} = 36 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{36{a^2}}}{{9{a^2} + 4{b^2}}}$ ,từ đó

${y^2} = \frac{{36{b^2}}}{{9{a^2} + 4{b^2}}}$
Ta có

$P{Q^2} = \frac{{144\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{9{a^2} + 4{b^2}}}$
Khi đó

${S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}MN.PQ = \frac{{72\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{\sqrt {\left( {9{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {4{a^2} + 9{b^2}} \right)} }}$ (đvdt)

$2$ . Áp dụng bất đẳng thức côsi ta được

$\sqrt {\left( {9{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {4{a^2} + 9{b^2}} \right)} \le \frac{1}{2}\left( {9{a^2} + 4{b^2} + 4{a^2} + 9{b^2}} \right) = \frac{{13}}{2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$
Do đó