Bài 102458

$1$ Áp dụng công thức  $r = 4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$,hệ thức đã cho tương đương
            $\sin \frac{A}{2}(1 - \sin \frac{A}{2}) = 2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$
         $\Leftrightarrow 1 - \sin \frac{A}{2} = 2\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$        (do $\sin \frac{A}{2}\# 0$)
        $\Leftrightarrow 1 - \sin \frac{A}{2} = c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} - c{\rm{os}}\frac{{B + C}}{2}$
       $\Leftrightarrow 1 = c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2}$         (do $c{\rm{os}}\frac{{B + C}}{2} = \sin \frac{A}{2}$)
         $\Leftrightarrow B = C$
Từ đó suy ra  $DPCM$
$2/$ Ta có   $4r{r_a} = {a^2} \Leftrightarrow 4\frac{S}{p}\frac{S}{{p - a}} = {a^2}      (1)$
Áp dụng công thức Herong,ta có
$(1) \Leftrightarrow \frac{{4p(p - a)(p - b)(p - c)}}{{p(p - a)}} = {a^2}$
$\Leftrightarrow 4(p - b)(p - c) = {a^2}            (2)$
Theo bất đẳng thức Cosi,ta có
     $4(p - b)(p - c) \le {\left[ {(p - b) + (p - c)} \right]^2}$
   $\Leftrightarrow 4(p - b)(p - c) \le {a^2}                       (3)$
Dấu “$=$” xảy ra khi $b=c$
Từ ($2$) suy ra trong ($3$) có dấu “$=$”,từ đó suy ra $DPCM$
$3/$             ${r_a} + r = 4R\cos C$
        $\begin{array}{l}  \Leftrightarrow p.tg\frac{A}{2} + (p - a)tg\frac{A}{2} = 4R\cos C\\  \Leftrightarrow (2p - a)tg\frac{A}{2} = 4R\cos C\\  \Leftrightarrow (b + c)tg\frac{A}{2} = 4R\cos C\\  \Leftrightarrow 2R(\sin B + \sin C)\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{c{\rm{os}}\frac{A}{2}}} = 4R\cos C\\  \Leftrightarrow 4R\sin \frac{{B + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2}\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{c{\rm{os}}\frac{A}{2} = 4R\cos C}} \end{array}$
     $\begin{array}{l}  \Leftrightarrow 2\sin \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} = 2\cos C\\  \Leftrightarrow 2\cos \frac{{B + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} = 2\cos C\\  \Leftrightarrow \cos B + \cos C = 2\cos C \end{array}$
      $\begin{array}{l}  \Leftrightarrow \cos B = \cos C\\  \Leftrightarrow B = C \end{array}$
Ta có $DPCM$

$4/$   ${l_a} = \frac{{bc}}{{2R}} \Leftrightarrow \frac{{bc}}{{{l_a}}} = 2R$
     $\Leftrightarrow \frac{{bc}}{{\frac{{2bc\cos \frac{A}{2}}}{{b + c}}}} = 2R$ 
    $\Leftrightarrow \frac{{b + c}}{{2\cos \frac{A}{2}}} = 2R$
     $\Leftrightarrow \frac{{\sin B + \sin C}}{{2\cos \frac{A}{2}}} = 1$
      $\Leftrightarrow \frac{{\sin \frac{{B + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2}}}{{2\cos \frac{A}{2}}} = 1$
      $\Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} = 1$    
      $\Leftrightarrow B = C$
Ta có $DPCM$