Bài 102483

Question

CMR trong tam giác

$ABC$ thì

$cotA,cotB,cotC$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

$\cos B = \frac{{{b^2}}}{{2ac}}$

Tiểu Bắc · Answer 1 · 5/3/2012 3:32:48 PM

Theo giả thiết ta có

$cotA+cotC=2cotB(1)$
Theo định lý hàm số cosin suy rộng và công thức

$S=2bcsinA$ ,ta có

$\begin{array}{l} (1) \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}} = 2\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2{b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - {b^2} = {b^2}\\ \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{b^2}}}{{2ac}}\\ \Leftrightarrow \cos B = \frac{{{b^2}}}{{2ac}} \end{array}$ (2)
Nhận xét

$1/$ Từ

$(2)$ suy ra lớp các tam giác ABC thỏa mãn điều kiện là khác rỗng. Thật vậy, có

$1$ tam giác như vậy, là tam giác

$ABC$ với

$a = 4,b = \sqrt {10} ,c = 2$

$2/$ Ta có bài toán tương tự sau :
CMR: trong tam giác

$ABC$ thì

$4tanA,tanB,tanC$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

$tanAtanC=3$
Thật vậy

$\begin{array}{l} tanA + tanC = 2tanB\\ \Leftrightarrow tanA + tanC = - 2tan(A + C)\\ \Leftrightarrow tanA + tanC = 2\frac{{tanA + tanC}}{{tanAtanC - 1}}(*) \end{array}$
Do

$tanA+tanC\neq 0$ nên từ

$(*)$ suy ra

$tanAtanC=3$
Đó là đpcm.

$3/$ Như trên đã thấy trong tam giác

$ABC$ ,thì

$\cot gA + \cot gC = 2\cot gB \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2{b^2}$
Bây giờ ta đưa thêm

$1$ điều kiện cần và đủ để có

$cotA+cotC=2cotB$ dưới dạng hình học như sau

Cho tam giác

$ABC$ không cân đỉnh

$B. 3$ trung tuyến kẻ từ

$A,B,C$ cắt đường tròn ngoại tiếp tại

$A’,B’,C’$ . Khi đó ta có :

$cotA+cotC=2cotB$

$\Leftrightarrow B'A' = B'C'$
Thật vậy,gọi

$G$ là trọng tâm tam giác

$ABC$ . Khi đó, từ sự đồng dạng của

$2$ tam giác

$C’B’G$ và

$BCG$ , ta có:

$\frac{{C'B'}}{{BC}} = \frac{{B'G}}{{CG}}$
Tương tự có

$\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'G}}{{AG}}$
Từ đó suy ra

$B'A' = B'C' \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AG}}{{CG}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{c}{a} = \frac{{{m_a}}}{{{m_c}}}\\ \Leftrightarrow {(\frac{c}{a})^2} = {(\frac{{{m_a}}}{{{m_c}}})^2}\\ \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{{2{a^2} + {b^2} - {c^2}}}\\ \Leftrightarrow 2{a^2}{c^2} + 2{b^2}{c^2} - {c^4} = 2{a^2}{b^2} + 2{a^2}{c^2} - {a^4}\\ \Leftrightarrow 2{b^2}({c^2} - {a^2}) = {c^4} - {a^4} = ({c^2} - {a^2})({c^2} + {a^2}) \end{array}$
Do a#c

$\begin{array}{l} \Rightarrow B'A' = A'C' \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2{b^2} \Leftrightarrow \cot A + \cot C = 2\cot B\\ \Rightarrow dpcm \end{array}$

$4)$ TA lại đưa thêm tiêu chuẩn hình học nữa để

$cotA+cotC=2cotB$
Xét tam giác

$ABC$ với

$a \le b \le c$ và không cân đỉnh

$B$
Khi đó

$cotA+cotC=2cotB$ nếu tam giác

$ABC$ đồng dạng với tam giác mà

$3$ cạnh là

$3$ trung tuyến của tam giác ấy

$a \le b \le c \Rightarrow {m_a} \ge {m_b} \ge {m_c}$
Thật vậy:

$\begin{array}{l} 2{b^2} + 2{c^2} - {a^2} = 2{a^2} + 2{c^2} - {b^2} + (3{b^2} - 3{a^2})\\ \Rightarrow 4m_a^2 = 4m_b^2 + 3({b^2} - {a^2}) \ge 4m_b^2(b \ge a)\\ \Leftrightarrow {m_a} \ge {m_b} \end{array}$
Nhận xét được chứng minh.Gọi

$M$ là tam giác có

$3$ cạnh là

$3$ trung tuyến của tam giác

$ABC$ ,ta có :

$\frac{{{m_a}}}{{{m_b}}} = \frac{c}{b};\frac{{{m_a}}}{{{m_c}}} = \frac{c}{a}$
Do

$a\# c \Rightarrow {a^2} + {c^2} = 2{b^2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cot A + \cot C = 2\cot B\\ \Rightarrow \end{array}$ (đpcm)

$5/$ Xét thêm

$1$ tiêu chuẩn nữa như sau :
Gọi

$G$ là trọng tâm tam giác

$ABC$ . Khi đó nếu như

$AC$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác

$ABG$ thì

$cotA+cotC=2cotB$
Thật vậy. Gọi

$M,N$ là trung điểm của

$AB,BC,G$ là trọng tâm.
Do

$AC$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp

$AABG$ , nên
Vì

$MN//AC$
Do vậy là tứ giác nội tiếp. Vì thế ta có

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} AG.AN = AM.AB\\ CN.CB = CG.CM \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{2}{3}{m_a}{m_a} = \frac{c}{2}c\\ \frac{2}{3}{m_c}{m_c} = \frac{a}{2}a \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4m_a^2 = 3{c^2}\\ 4m_c^2 = 3{a^2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{b^2} + 2{c^2} - {a^2} = 3{c^2}\\ 2{b^2} + 2{a^2} - {c^2} = 3{a^2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow 2{b^2} = {a^2} + {c^2}\\ \Rightarrow \cot A + \cot C = 2\cot B\\ \Rightarrow (đpcm) \end{array}$
Vì thế tiêu chuẩn hình học

$“AC$ là tiếp tuyếnđường tròn ngoại tiếp tam giác

$ABG”$ cũng là điều kiện đủ để trong tam giác

$ABC$ có

$cotA+cotC=2cotB$