Bài 102842

Question

Xét tính liên tục của hàm số:

$f(x)=\begin{cases} x^{3}+x+1;x\geq 1\\ 2x+4 ;x<1 \end{cases}$ trên tập xác định của nó

dungnt · Answer 1 · 6/20/2012 10:03:35 AM

Dễ thấy ngay, hàm số liên tục trên các khoảng

$(-\infty;3), (3;5), (5;+\infty)$ .

Chỉ cần xét tính liên tục của

$f(x)$ tại điểm

$x=3,x=5$ .

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3^-}f(x)=1; \mathop {\lim }\limits_{x \to 3^+}f(x)=3a+b ; f(3)=1$

Nên để

$f(x)$ liên tục tại

$x=3$ , ta phải có :

$3a+b=1 (1)$

Tương tự, để

$f(x)$ liên tục tại

$x=5$ , ta phải có:

$5a+b=7 (2)$

Vậy để hàm số liên tục trên

$R$ , ta phải có đồng thời

$\begin{cases}3a+b=1 (1) \\ 5a+b=7 (2) \end{cases}$

Từ đây ta có:

$a=3, b=-8$

Administrator · Answer 2 · 5/25/2012 2:41:54 PM

Tập xác định của hàm số

$f(x)$ là

$D=R$
* Trên khoảng

$(-\infty;1) , f(x)=2x+4$ là hàm đa thức nên liên tục
* Trên khoảng

$(1,+\infty) ,f(x)=x^{3}+x+1$ là hàm đa thức nên liên tục
* Tại

$x_{0}=1$
Ta có

$f(1)=1^{3}+1+1=3$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^{-}}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^{-}}(2x+4)=6 \neq f(1)$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^{+}}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^{+}}(x^{3}+x+1)=3 = f(1)$

Vì

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^{+}}\neq \mathop {\lim }\limits_{x \to 1^{-}}$ nên

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}$ không tồn tại
Vậy

$f(x)$ không liên tục tại điểm

$x_{0}=1$
Tóm lại

$f(x)$ liên tục trên khoảng

$(-\infty;1)$ và trên

$[1;+\infty)$ nhưng gián đoạn tại điểm

$x_{0}=1$

2 Đáp án