|
|
Vì $ {\left( {1 + x} \right)^n} = 1 + C_n^1x + ... + C_n^s{s^3} + ... + {x^n} $
Vậy hệ số của $x^{8}$ trong khai triển $ \left[ {\left( {s - 2} \right){x^2} + nx - s} \right]{\left( {x + 1} \right)^n} $ là
$ {A_s} = \left( {s - 2} \right)C_n^{s - 2} + nC_n^{s - 1} - sC_n^s $
Vì $ C_n^k = \,\,C_n^{k - 1} \frac{{n - k - 1}}{k} $
Nên $ {A_s} = \left( {s - 2} \right)C_n^{s - 2} + nC_n^{s - 1} - sC_n^s\frac{{n - 8 + 1}}{s} $
$ \begin{array}{l}
{A_s} = \left( {s - 2} \right)C_n^{s - 2} + C_n^{s - 1}\left( {n - n + s - 1} \right)\\
= \,\,\,\,\,\,\,\,\left( {s - 2} \right)C_n^{s - 2} - \left( {s - 1} \right)C_n^{s - 1}\\
= \,\,\,\,\,\,\,\left( {3 - 2} \right)C_n^{s - 2} - \left( {s - 1} \right)C_n^{s - 2}\frac{{n - s + 2}}{{s - 1}}\\
= \,\,\,\,\,\,\,\,C_n^{s - 2}\left( {s - 2 + n - s + 2} \right) = nC_n^{s - 2}
\end{array} $
|