Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số y=f(x)=1x tại điểm x=x0 bất kì.
Với Δx là số gia của x0 ta có
* Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=1x0+Δx−1x0=−Δx(x0+Δx)x0
* ΔyΔx=−1(x0+Δx)x0
* limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0−1(x0+Δ)x0=−1x20
a) Phương trình tiếp tuyến tại điểm (12;2) có dạng
y−y0=f′(x0)(x−x0)
Với x0=12,y0=2;f′(x0)=f′(12)=−4
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y−2=−4(x−12) hay y=−4x+4
b)Tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng −1 có dạng:
y−y0=f′(x0)(x−x0)
Với y0=−1⇒1x0=−1⇒x0=−1
Khi đó f′(x0)=f′(−1)=−1
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y+1=−1(x+1) hay y=−x−2
c) Δ1:x+4y−4=0⇔y=−14x+1
Δ1 có hệ số góc là k1=−14
Gọi M(x0,y0)là tiếp điểm. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là
k=f′(x0)=−1x20
Theo giả thiết tiếp tuyến song song với Δ1 nên
k=k1⇔−1x20=−14⇔x0=±2
*Với x0=2 thì y0=12;f′(x0)=−14 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y−12=−14(x−2) hay y=−14x+1
Tiếp tuyến này loại vì trùng với Δ1
*Với x0=−2 thì y0=−12;f′(x0)=−14 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y+12=−14(x+2) hay y=−14x−1
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=−14x−1
d) Δ2:x−y+1=0⇔y=x+1
Δ2 có hệ số góc là k2=1
Gọi M(x0,y0)là tiếp điểm. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là
k=f′(x0)=−1x20
Theo giả thiết tiếp tuyến vuông góc với Δ2 nên
k.k1=−1⇔−1x20.1=−1⇔x0=±1
*Với x0=1 thì y0=1;f′(x0)=−1 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y−1=−1(x−1) hay y=−x+2
*Với x0=−1 thì y0=−1;f′(x0)=−1 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y+1=−1(x+1) hay y=−x−2
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là y=−x+2 và y=−x−2