Bài 103119

a/ $\Delta’=m^{2}+2m+1-2\left(m^{2} +4m+3\right)= -m^{2}-6m-5$

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta’ \geq 0$

$\Leftrightarrow -m^{2}-6m-5 \geq 0$  $\Leftrightarrow m^{2}+6m+5 \leq 0 \Leftrightarrow -5 \leq m \leq -1 (*)$

b/ Với điều kiện $(*)$, phương trình có hai nghiệm:

$x_{1}= \frac{ -\left(m+1\right) -\sqrt{ -\left(m^{2}+6m+5\right)}}{2}; x_{2}=\frac{-\left(m+1\right)+\sqrt{ -\left(m^{2}+6m+5\right)}}{2}$  hiển nhiên $x_{1} <x_{2}$.

Để phương trình có ít nhất một  nghiệm lớn hơn $1$ thì:

$1<x_{2} \Leftrightarrow \frac{-\left(m+1\right)+\sqrt{ -\left(m^{2}+6m+5\right)} }{2}$  hiển nhiên $x_{1} <x_{2}>1$

$\Leftrightarrow -\left(m+1\right)+ sqrt{ -\left(m^{2}+6m+5\right)}>2$

$\Leftrightarrow \sqrt{-\left(m^{2}+6m+5\right)} < m+3 (*’)$

+/ Nếu $-5<m\leq -3 (*’)$ luôn đúng

+/ Nếu $-3<m<-1$: bình phương hai vế:

$-m^{2}-6m-5> m^{2}+6m+9$

$\Leftrightarrow 2m^{2} +12m +14 <0 \Leftrightarrow  m^{2}+6m+7<0 \Leftrightarrow -3-\sqrt{2}<m< -3+\sqrt{2}$

Giao với $-3<m<-1$ được $-3<m<-3+\sqrt{2}$

$1<x_{1} \Leftarrow 1< \frac{ -\left(m+1\right) -\sqrt{ -\left(m^{2}+6m+5\right)}}{2}$

$\Leftrightarrow 2< -\left(m+1\right) -\sqrt{ -\left(m^{2}+6m+5\right)}$

$\Leftrightarrow \sqrt{ -\left(m^{2}+6m+5\right)}< -\left(m+3\right)$

Nếu $-5<m<-3$: Bình phương hai vế:

$-m^{2}-6m-5< m^{2}+6m+9$

$2m^{2}+12m+14>0 \Leftrightarrow m^{2}+6m+7>0 \Leftrightarrow m< -3-\sqrt{2}$ hay $m> -3+\sqrt{2}$

Giao với $-5<m<-3$ được $-5<m<-3-\sqrt{2}$

Vậy để phương trình có ít nhất một nghiệm lớn hơn $1$ thì $m\in \left( -5; -3-\sqrt{2}\right)$ hoặc $m \in \left( -3; -3+\sqrt{2} \right)$

c/ Từ phương trình: $2x^{2}+2\left(m+1\right)x +m^{2}+4m+3=0$, với $m\in[ -5; -1]$, phương trình có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ và

$x_{1}+x_{2}=-\left( m+1\right), x_{1}x_{2}=\frac{m^{2}+4m+3}{2}$

$A=| x_{1}x_{2}-2\left(x_{1}+x_{2}\right)|$

$= |\frac{m^{2}+4m+3}{2}+2\left( m+1\right)|$

$= | \frac{m^{2}+8m+7}{2}|$

Xem đồ thị hàm số  $y=| \frac{m^{2}+8m+7}{2}|$ trên $[ -5; -1]$

Đồ thị $y=| \frac{m^{2}+8m+7}{2}|$ trên $[ -5; -1]$ là phần nét đậm.
 

Từ đồ thị $\Leftarrow$ giá trị lớn nhất của biểu thức A là $4,5$ đạt được khi $m=-4$