Bài 103580

Question

Cho tam giác

$ABC$ . Các điểm

$M, N, P$ thuộc các cạnh

$BC, CA, AB$ . Chứng minh rằng

$AM, BN, CP$ đồng quy khi và chỉ khi:

$\frac{{\sin \widehat {MAB}}}{{\sin \widehat {MAC}}}.\frac{{\sin \widehat {NBC}}}{{\sin \widehat {NBA}}}.\frac{{\sin \widehat {PCA}}}{{\sin \widehat {PCB}}} = 1$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/8/2012 4:36:09 PM

Trước hết ta chứng minh một bổ đề.
Bổ đề: Cho bốn góc

$\alpha ,\alpha ',\beta ,\beta '$ thỏa mãn;

$\left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = \alpha ' + \beta ' < {180^o}\\ \frac{{\sin \alpha }}{{\sin \beta }} = \frac{{\sin \alpha '}}{{\sin \beta '}} \end{array} \right.$
Khi đó:

$\alpha = \alpha ';\beta = \beta '.$
Chứng minh

Cách 1: Dựng

$\Delta ABC:\widehat A = \alpha + \beta = \alpha ' + \beta '$
Lấy

$M,M'$ thuộc đoạn BC sao cho:

$\left\{ \begin{array}{l} \widehat {BAM} = \alpha ;\widehat {CAM} = \beta \\ \widehat {BAM'} = \alpha ';\widehat {CAM'} = \beta ' \end{array} \right.$ .
Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{S\left( {AMB} \right)}}{{S\left( {AMC} \right)}} = \frac{{\frac{1}{2}AM.AB.\sin \alpha }}{{\frac{1}{2}AM.AC.\sin \beta }} = \frac{{\frac{1}{2}AM'.AB\sin \alpha '}}{{\frac{1}{2}AM'.AC.\sin \beta '}} = \frac{{S\left( {AM'B} \right)}}{{S\left( {AM'C} \right)}} = \frac{{M'B}}{{M'C}} \end{array}$
Suy ra:

$M \equiv M' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \alpha = \alpha '\\ \beta = \beta ' \end{array} \right.$

Cách 2: Vẽ

$\Delta ABC$ và

$\Delta A'B'C'$ sao cho:

$\widehat A = \alpha ,\widehat B = \beta ,\widehat {A'} = \alpha ',\widehat {B'} = \beta '$
Từ giả thiết và định lí hàm số sin ta có:

$\frac{{CB}}{{CA}} = \frac{{\sin \alpha }}{{\sin \beta }} = \frac{{\sin \alpha '}}{{\sin \beta '}} = \frac{{C'B'}}{{C'A'}}$
Mặt khác,

$\alpha + \beta = \alpha ' + \beta ' \Rightarrow \widehat C = \widehat {C'}$
Suy ra

$\Delta ABC\sim \Delta A'B'C'$ . Vậy

$\alpha = \alpha ',\beta = \beta '$ .

Trở lại bài toán đang xét

Nếu

$AM,BN,CP$ đồng quy và giả sử điểm đồng quy đó là

$O$ .
áp dụng định lí hàm số sin cho các tam giác

$OAB,OBC,OCA$ ta có :

$\frac{{\sin \widehat {OAB}}}{{\sin \widehat {OBA}}} = \frac{{OB}}{{OA}};\frac{{\sin \widehat {OBC}}}{{\sin \widehat {OCB}}} = \frac{{OC}}{{OB}};\frac{{\sin \widehat {OCA}}}{{\sin \widehat {OAC}}} = \frac{{OA}}{{OC}}$
Suy ra:

$\frac{{\sin \widehat {OAB}}}{{\sin \widehat {OBA}}}.\frac{{\sin \widehat {OBC}}}{{\sin \widehat {OCB}}}.\frac{{\sin \widehat {OCA}}}{{\sin \widehat {OAC}}} = \frac{{OB}}{{OA}}.\frac{{OC}}{{OB}}.\frac{{OA}}{{AB}}$

$\Rightarrow \frac{{\sin \widehat {MAB}}}{{\sin \widehat {MAC}}}.\frac{{\sin \widehat {NBC}}}{{\sin \widehat {NBA}}}.\frac{{\sin \widehat {PCA}}}{{\sin \widehat {PCB}}} = 1$
Ngược lại, nếu :

$\frac{{\sin \widehat {MAB}}}{{\sin \widehat {MAC}}}.\frac{{\sin \widehat {NBC}}}{{\sin \widehat {NBA}}}.\frac{{\sin \widehat {PCA}}}{{\sin \widehat {PCB}}} = 1$

$(1)$
Giả sử

$BN, CP$ cắt nhau tại

$O$ . Theo phần thuận

$\frac{{\sin \widehat {OAB}}}{{\sin \widehat {OAC}}}.\frac{{\sin \widehat {NBC}}}{{\sin \widehat {NBA}}}.\frac{{\sin \widehat {PCA}}}{{\sin \widehat {PCB}}} = 1 \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra: