Bài 104442

Question

Cho góc tam diện vuông

$Oxyz$ . Trên

$Ox, Oy, Oz$ lấy lần lượt các điểm

$A, B, C$ có

$OA = a; OB = b; OC = c (a, b, c > 0)$ .

$1$ . Chứng minh rằng tam giác

$ABC$ có ba góc nhọn.

$2$ . Gọi

$H$ là trực tâm tam giác

$ABC$ . Hãy tính

$OH$ theo

$a, b, c.$

$3.$ Chứng minh rằng bình phương diện tích tam giác

$ABC$ bằng tổng bình phương diện tích các mặt còn lại của tứ diện

$OABC.$

Tiểu Bắc · Answer 1 · 5/16/2012 4:51:59 PM

$1.$
Ta có

$AB^2=a^2+b^2$

$BC^2=b^2+c^2$

$CA^2=c^2+a^2$

$\Rightarrow AB^2+BC^2=a^2+2b^2+c^2>CA^2$

$\Rightarrow \Delta ABC$ có góc

$B$ nhọn
Chứng minh tương tự ta được

$A,C$ nhọn

$2.$
Nối

$A$ với trực tâm

$H$ cắt

$BC$ tại

$M$ , ta có

$AM \bot BC$ .
Mặt khác có

$OA \bot (OBC)\Rightarrow OA \bot BC$
Do đó :

$BC \bot (OAM)\Rightarrow BC \bot OH\in (OAM)$ .
Chứng minh tương tự ta được :

$AB \bot OH$ .Do đó

$OH \bot (ABC)$ .
Trong tam giác vuông

$OBC$ có

$OM \bot BC$ nên

$\frac{1}{OM^2}=\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$
Trong tam giác vuông

$OAM$ có

$AH$ vuông góc với cạnh huyền

$AM$ nên :

$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{a^2b^2c^2}$
Vậy

$OH=\frac{abc}{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}$

$3.$ Ta có

$V_{OABC}=\frac{1}{3}S_{\Delta OBC}.OA=\frac{1}{6}abc$
Mặt khác

$V_{OABC}=\frac{1}{3}S_{\Delta ABC}.OH$

$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{3.V_{OABC}}{OH}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$

$\Rightarrow S_{\Delta ABC}^2=\frac{1}{4}a^2b^2+\frac{2}{4}b^2c^2+\frac{1}{4}c^2a^2=S_{\Delta OAB}^2+S_{\Delta OBC}^2+S_{\Delta OCA}^2 (dpcm)$

Bài 104442

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104442

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan