Bài 104640

Question

Trong không gian

$Oxyz$ , đường thẳng

$\Delta$ có phương trình là:

$\left\{ \begin{array}{l} 2x + y + 1 = 0\\ x - y + z - 1 = 0 \end{array} \right.$
và đường thẳng

$\Delta ’$ có phương trình là:

$\left\{ \begin{array}{l} 3x + y - z + 3 = 0\\ 2x - y + 1 = 0 \end{array} \right.$

$1.$ Chứng minh rằng hai đường thẳng đó cắt nhau. Tìm giao điểm

$I$ của chúng.

$2$ . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (

$\beta$ ) đi qua hai đường thẳng

$\Delta$ và

$\Delta$ ’.

$3$ . Tìm thể tích phần không gian giới hạn bởi mặt phẳng (

$\beta$ ) và ba mặt phẳng tọa độ.

Tiểu Bắc · Answer 1 · 5/18/2012 9:26:36 AM

$\begin{array}{l} 1.{\rm{ Xét hệ phương trình:}}\\ \left\{ \begin{array}{l} 2x + y + 1 = 0\,\,\,(1)\\ x - y + z - 1 = 0\,\,\,(2)\\ 3x + y - z + 3 = 0\,\,\,(3)\\ 2x - y + 1 = 0\,\,(4) \end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1/2\\ y = 0\\ z = 3/2 \end{array} \right.\\\end{array}$

$(1),(4)\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2},y=0$ thế vào

$(2)$ và

$(3)$ được

$z=\frac{3}{2}$ .Vậy hệ có nghiệm duy nhất

$x=\frac{-1}{2},y=0,z=\frac{3}{2}$ do đó hai đường thẳng

$\Delta$ với phương trình

$(1),(2)$ và

$\Delta'$ (với phương trình

$(3),(4)$ ) cắt nhau và giao điểm của chúng là :

$I=\frac{-1}{2},0,\frac{3}{2}$

$\begin{array}{l} 2.\,\forall a,b { không đồng thời bằng 0}\\ {\rm{a(2x + y + 1) + b(x - y + z - 1) = 0}}\\ {\rm{là phương trình tổng quát của mặt phẳng (}}\beta {\rm{) di qua (}}\Delta {\rm{)}} \end{array}$

$M \in \Delta ' \Rightarrow M(0;1;4)$ .
Mặt phẳng

$(\beta )$ cần tìm qua

$\Delta ;\Delta '$ nên

$(\beta )$ đi qua M

$\Leftrightarrow 2a + 2b = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = - a\\ a \ne 0 \end{array} \right.$
Do đó phương trình tổng quát của mặt phẳng

$(\beta )$ :

$\begin{array}{l} a(2x + y + 1) - a(x - y + z - 1) = 0\\ \Leftrightarrow 2x + y + 1 - (x - y + z - 1) = 0\\ \Leftrightarrow x + 2y - z + 2 = 0 \end{array}$

$3$ . Trong phương trình

$(\beta )$ , cho

$y = z = 0$

$\Rightarrow x = - 2$

$(\beta )$ cắt

$Ox$ tại

$A(-2;0;0)$ . Tương tự

$(\beta )$ cắt

$Oy$ và

$Oz$ theo thứ tự tại

$B(0;-1;0), C(0;0;2)$ . Do đó thể tích phần không gian giới hạn bởi

$(\beta )$ và ba mặt phẳng tọa độ là bằng: