Bài 104965

Question

Cho hai phương trình

$f(x)=x^2-(m+1)x+m=0$ (1)

$F(x) = 2x^2 - x + 2m = 0$             (2)
Tìm m để
a)    (1) và (2) có nghiệm chung ?
b)    (1) và (2) có hai nghiệm chung
c)    (1) và (2) tương đương?
d)    (1) và (2) đều có hai nghiệm xen kẽ nhau
e)    Các nghiệm của (1) đều nằm trong khoảng các nghiệm của (2)
f )    Các nghiệm của (2) đều nằm trong khoảng các nghiệm của (1)

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/21/2012 9:29:08 AM

a) Hệ sau phải có nghiệm

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0{\rm{ (3)}}\\ 2{{\rm{x}}^2} - x + 2m = 0{\rm{ (4)}} \end{array} \right.$
Nhân hai vế của (3) với 2 rồi trừ từng vế vế ta được

$\left( { - 2m - 1} \right)x = 0$
+ Hoặc

$x = 0$ , thay vào (3) được

$m = 0$
+ Hoặc

$m = - \frac{1}{2}$ , thay vào (4) được

${x^2} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 1,{x_2} = - \frac{1}{2}$
b) Cách 1. Trước hết phải có nghiệm chung theo trên

$m = 0$ ,

$m = - \frac{1}{2}$
Với

$m = 0$ : (1), (2) trở thành

${x^2} - x = 0$ và

$2{{\rm{x}}^2} - x = 0$ . Chúng chỉ có 1 nghiệm chung : loại

$m = 0$
Với

$m = - \frac{1}{2}$ : (1) ,(2) trở thành

${x^2} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0$ và

$2{{\rm{x}}^2} - x - 1 = 0$
Chúng có hai nghiệm chung là

${x_1} = 1,{x_2} = - \frac{1}{2}$ . Vậy

$m = - \frac{1}{2}$ lấy được
Cách 2: Dùng tỉ số các hệ số
Xét riêng trường hợp

$m = 0$ , ta đã thấy 2 phương trình chỉ có 1 nghiệm chung

$\Rightarrow$ loại

$m = 0$ .
Trường hợp

$m \ne 0$ : để 2 phương trình có 2 nghiệm chung điều kiện là:

$\left\{ \begin{array}{l} {\Delta _1}{\rm{ hoặc}} {\Delta _2} > 0\\ \frac{1}{2} = m + 1 = \frac{m}{{2m}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _2} = 1 - 16m > 0\\ m + 1 = \frac{1}{2} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < \frac{1}{{16}}\\ m = - \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$
c) Để (1) và (2) tương đương với 2 trường hợp
Hoặc cả hai cùng vô nghiệm: điều kiện là

$\left\{ \begin{array}{l} {\Delta _1} = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m < 0\\ {\Delta _2} = 1 - 16m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {m - 1} \right)^2} < 0\\ m > \frac{1}{{16}} \end{array} \right.$ vô nghiệm
Hoặc cả hai cùng có 2 nghiệm chung: theo câu 2 )

$m = - \frac{1}{2}$ .
Vậy để hai phương trình tương đương

$\Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$
d) Trước hết (1) và (2) đều phải có 2 nghiệm

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _1} = {\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\ {\Delta _2} = 1 - 16m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < \frac{1}{{16}}$
Nghiệm của (1) là

${x_{1,2}} = \frac{{m + 1 \pm \left( {m - 1} \right)}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = m\\ {x_2} = 1 \end{array} \right.$
Để nghiệm xen kẽ nhau thì (2) phải có 1 nghiệm trong khoảng

${x_1},{x_2}$ và 1 nghiệm ngoài khoảng

${x_1},{x_2}$ điều kiện là

$F\left( {{x_1}} \right)f\left( {{x_2}} \right) < 0$

$\Leftrightarrow \left( {2{m^2} - m + 2m} \right)\left( {2 - 1 + 2m} \right) < 0 \Leftrightarrow m{\left( {2m + 1} \right)^2} < 0$

$\Leftrightarrow m < 0,m \ne \frac{1}{2}$ ( đều thỏa mãn

$m < \frac{1}{{16}}$ )
Vậy các giá trị của m lấy được là

$m < 0,m \ne \frac{1}{2}$
e) Để các nghiệm

${x_1},{x_2}$ của (1) nằm trong khoảng các nghiệm của (2) điều kiện là:

$\left\{ \begin{array}{l} 2.F\left( {{x_1}} \right) < 0\\ 2.F\left( {{x_2}} \right) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{m^2} + m < 0\\ 2m + 1 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}$
f) Gọi các nghiệm của (2) là

${x_3},{x_4}$ . Biểu thức của

${x_3},{x_4}$ khá phức tạp nên ta phải làm như sau
Để

${x_3},{x_4}$ trong khoảng 2 nghiệm của (1) điều kiện là

$\left\{ \begin{array}{l} 1.f\left( {{x_3}} \right) < 0\\ 1.f\left( {{x_4}} \right) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2}_3 - \left( {m + 1} \right){x_3} + m < 0{\rm{ (5)}}\\ {x^2}_4 - \left( {m + 1} \right){x_4} + m < 0{\rm{ (6)}} \end{array} \right.$
Xét VT (5)

$= \frac{1}{2}\left( {2{{\rm{x}}^2}_3 - 2m{{\rm{x}}_3} - 2{{\rm{x}}_3} + 2m} \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {2{{\rm{x}}^2}_3 - {{\rm{x}}_3} + 2m - 2m{{\rm{x}}_3} - {x_3}} \right)$
Chú ý rằng

$2{{\rm{x}}^2}_3 - {{\rm{x}}_3} + 2m = 0$ do

${x_3}$ là nghiệm của (2)

$\Rightarrow VT(5) = \frac{1}{2}\left( { - 2m{{\rm{x}}_3} - {x_3}} \right) = - \frac{1}{2}{x_3}\left( {2m + 1} \right)$
Tương tự ta cũng có VT (6)

$= - \frac{1}{2}{x_4}.\left( {2m + 1} \right)$
Hệ (5), (6) trở thành

$\left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{2}{x_3}\left( {2m + 1} \right) < 0{\rm{ (7)}}\\ - \frac{1}{2}{x_4}\left( {2m + 1} \right) < 0{\rm{ (8)}} \end{array} \right.$
Đến đây ta mới thay

${x_{3,4}} = \frac{{1 \pm \sqrt {1 - 16m} }}{4}$ vào (7), (8) ta được

$\left\{ \begin{array}{l} \left( {1 + \sqrt {1 - 16m} } \right)\left( {2m + 1} \right) > 0\\ \left( {1 - \sqrt {1 - 16m} } \right)\left( {2m + 1} \right) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2m + 1 > 0\\ 1 - \sqrt {1 - 16m} > 0 \end{array} \right.$