Bài 104976

Question

Giải và biện luận theo tham số

$m$ phương trình:

$| x^2 + x + m| = - x^2 + x + 2$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/21/2012 9:56:52 AM

Điều kiện của nghiệm :

$- {x^2} + x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2$ . Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với.

$\begin{array}{l} {\left( {{x^2} + x + m} \right)^2} = \left( { - {x^2} + x + 2} \right) \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x + m} \right)^2} - \left( { - {x^2} + x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2{{\rm{x}}^2} + m - 2} \right)\left( {2{\rm{x}} + m + 2} \right) = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + m + 2 = 0\\ 2{{\rm{x}}^2} + m - 2 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{{m + 2}}{2}{\rm{ (1)}}\\ {x^2} = \frac{{2 - m}}{2}{\rm{ (2)}} \end{array} \right.$

$(2)$ có nghiệm rằng

$\Leftrightarrow 2 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2$ . Khi đó nghiệm của

$(2)$ là:

${x_1} = - \sqrt {\frac{{2 - m}}{2}} ,{x_2} = \sqrt {\frac{{2 - m}}{2}}$
Dễ nhận thấy rằng

${x_2} \ge - 1,{x_1} \le 2$ .
Do đó

${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình đã cho ta cần có

${x_2} \le 2,{x_1} \ge - 1$

a)

${x_2} \le 2 \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{2 - m}}{2}} \le 2 \Leftrightarrow \frac{{2 - m}}{2} \le 4 \Leftrightarrow - 6 \le m \le 2$

b)

${x_1} \ge - 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - \sqrt {\frac{{2 - m}}{2}} \ge - 1 \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{2 - m}}{2}} \le 1\\ \Leftrightarrow \frac{{2 - m}}{2} \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2 \end{array}$
để

$(1)$ là nghiệm của phương trình đã cho ta cần có