Bài 105006

Question

Cho hình hộp chữ nhật

$ABCD.A’B’C’D’$ có

$AB = a, AD = 2a, AA’ = a.$

$1$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

$AD’$ và

$B’C.$

$2$ . Gọi

$M$ là điểm chia trong đoạn

$AD$ theo tỷ số

$AM/MD = 3$
Hãy tính khoảng cách từ điểm

$M$ đến mặt phẳng

$(AB’C)$

$3$ . Tính thể tích tứ diện

$AB’D’C.$

Tiểu Bắc · Answer 1 · 5/21/2012 2:07:23 PM

$1.$ Ta có mặt phẳng

$(AA'D'D)//(BB'C'C)$ và

$AD' \in (AA'D'D),B'C \in (BB'C'C)$ nên khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

$A'D$ và

$B'C$ bằng khoẳng cách giữa hai mặt phẳng song song

$(AA'D'D) va (BB'C'C)$ nghĩa là bằng

$AB=a$ (Lưu ý có thể thấy rằng đườngvuông góc chung của

$AD'$ và

$B'C$ là đường nối các trung điểm của chúng)

$2.$ Ta có

$AC$ và

$BD$ cắt nhau tại

$O$ là trung điểm của mỗi đường, do đó

$d(D,(AB'C))=d(B,(AB"C))$
(kí hiệu

$d(M,P)$ là khoảng cách từ

$M$ đến mặt phẳng

$(P))$ .
Mặt khác vì

$MA=\frac{3}{4}DA$ nên

$d(M,(AB'C))=\frac{3}{4} d(D,(AB'C))=\frac{3}{4} d(B,(AB'C))$
Kẻ

$BH\bot AC,BK\bot B'H,$ ta có

$AC\bot(BB'H)$ nên

$AC\bot BK\Rightarrow BK\bot (AB'C)$
do đó

$d(M,(AB'C))=\frac{3}{4} BK (1)$
Trong tam giác vuông

$ABC$ có

$\frac{1}{BH^2} =\frac{1}{BA^2}+\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{a^2} +\frac{1}{4a^2}=\frac{5}{4a^2}$

Trong tam giác vuông $BB’H$ :

$\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BH^2}+\frac{1}{BB’^2}=\frac{5}{4a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{9}{4a^2}\Rightarrow BK=\frac{2a}{3}$

Vậy

$d(M,(AB'C))=\frac{3}{4} BK=\frac{3}{4}.\frac{2a}{a} =\frac{a}{2}$

$3.$ Tính thể tích tứ diện

$AB'D'C$
Nối

$BD'$ cắt

$B'O$ tại

$E$ ta có:

$\frac{D'E}{EB} =\frac{B'D'}{BO} =2$ (vì

$B'D'//BO$ )

$\Rightarrow d(D',(AB'C))=2d(B,(AB'C))$

$\Rightarrow V_{D'.AB'C}=2V_{B.AB'C}$ (hai hình chóp có chung đáy

$AB'C$ )
Ta có

$V_{B.AB'C}=\frac{1}{3} BB'.S_{ABC}=\frac{1}{6} BB'.BA.BC=\frac{1}{6} a.a.2a=\frac{a^3}{3}$ (đvdt)
ĐS :

$V=\frac{2a^3}{3}$

Bài 105006

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105006

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan