Bài 105103

$\Leftrightarrow x- \frac{ 1}{16} \leq \sqrt{ x- \frac{ 1}{4}}$

Với điều kiện trên, hai vế của bất phương trình không âm, bình phương hai vế:

$x^{2} - \frac{ x}{8} + \frac{ 1}{256} \leq x- \frac{ 1}{4} \Leftrightarrow x^{2} - \frac{ 9}{8}x+ \frac{ 65}{256} \leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{ 5}{16} \leq x \leq \frac{ 13}{16}$ giao với $x \geq \frac{ 1}{4}$ được $\frac{ 5}{16} \leq x \leq \frac{ 13}{16}$

b/ $x \leq a^{2}+ \sqrt{ x-a}$

Điều kiện: $x \geq a$

Đặt $\sqrt{ x-a}=t, t \geq 0; x= t^{2}+a$

Thay theo $t : t^{2}+a \leq a^{2}+t$

$\Leftrightarrow t^{2}-t +a-a^{2} \leq 0$

Vế trái là tam thức bậc hai có hai nghiệm: $t_{1}=a, t_{2}=1-a$

$t_{1}-t_{2}=a-1+a=2a-1$

Nếu $a> \frac{ 1}{2} \Rightarrow t_{1}>t_{2}$

$a < \frac{ 1}{2} \Rightarrow t_{1}<t_{2}$

Trường hợp $a> \frac{ 1}{2} \Rightarrow 1-a \leq t \leq a \Leftrightarrow 1-a \leq \sqrt{ x-a} \leq a$

Nếu $a>1 \Rightarrow 1-a \leq \sqrt{ x-a} \forall x \geq a$

$\sqrt{ x-a} \leq a \Leftrightarrow x-a \leq a^{2} \Leftrightarrow x \leq a^{2}+a$

Nghiệm của bất phương trình là: $a \leq x \leq a^{2}+a$

Nếu $\frac{ 1}{2} <a<1$:
$1-a \leq \sqrt{ x-a} \leq a$

$\Leftrightarrow \left( 1-a   \right)^{2}  \leq x-a \leq a^{2}$

$\Leftrightarrow 1-a +a^{2} \leq x \leq a^{2}+a$

Nghiệm của bất phương trình là :
$a^{2}-a+1 \leq  x a^{2}+a$

Trường hợp $a < \frac{ 1}{2}: a \leq \sqrt{ x-a} \leq 1-a$

Nếu $0<a<\frac{ 1}{2} \Rightarrow a^{2} \leq x-a \leq 1-2a +a^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}+a \leq x \leq a^{2}-a+1$

$a<0: a \leq \sqrt{ x-a} \forall x \geq a$ đúng.

$\sqrt{ x-a} \leq 1-a \Leftrightarrow x-a \leq 1-2a +a^{2}$

$\Leftrightarrow x \leq a^{2}-a+1$

Nghiệm của bất phương trình là:$a \leq x \leq a^{2}-a+1$