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Đặt : $a=\sin x, b=\sin y, c=\sin z, d=\sin t$
Khi đó: $\begin{cases}a+b+c+d=1 \\ a^2+b^2+c^2+d^2\leq \frac{1}{3} \end{cases}$
$\Rightarrow \left ( a-\frac{1}{6} \right )^2+\left ( b-\frac{1}{6} \right )^2+\left ( c-\frac{1}{6} \right )^2+\left ( d-\frac{1}{6} \right )^2=$
$=a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{1}{3}(a+b+c+d)+\frac{1}{9} \leq \frac{1}{9}$
$\Rightarrow |a|,|b|,|c|,|d| \leq \frac{1}{2} (1)$
Hơn nữa $0\leq \left ( b-\frac{1}{3} \right )^2+\left ( c-\frac{1}{3} \right )^2+\left ( d-\frac{1}{3} \right )^2$
$=b^2+c^2+d^2-\frac{2}{3}(b+c+d)+\frac{1}{3}$
$\leq \frac{1}{3}-\frac{2}{3}(1-a)+\frac{1}{3}\leq \frac{2a}{3}$
$\Rightarrow a>0$
Chứng minh tương tự : $b,c,d>0 (2)$
$(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow 0 \leq a,b,c,d\leq \frac{1}{2} \Rightarrow 0\leq x,y,z,t \leq \frac{\pi}{6}$
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