Bài 105306

Question

Giải các bất phương trình:
a/ $\sqrt{ x^{2} -8x +15}+ \sqrt{ x^{2} +2x-15} \leq \sqrt{ 4 x^{2} -18x +18}$
b/ $8+6|3- \sqrt{ x+5}|>x$
c/ $\frac{ 1}{1- x^{2} }> \frac{ 3x}{\sqrt{ 1-x^{2} }}-1$
d/ $\sqrt{ x-2}+x-5 \geq \sqrt{ 2 x^{2} -18x +46}$

Administrator · Answer 1 · 5/23/2012 3:51:48 PM

a/ $\sqrt{ x^{2} -8x +15}+ \sqrt{ x^{2} +2x-15} \leq \sqrt{ 4 x^{2} -18x +18}$
Điều kiện : $\begin{cases}    x^{2} -8x +15 \geq 0 \\ x^{2} +2x-15 \geq 0 \\ 4 x^{2} -18x +18 \geq 0   \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \leq 3, x \geq 5 \\ x \leq -5, x \geq 3 \\   x \leq \frac{ 3}{2}, x \geq 3 \end{cases} \Leftrightarrow x \geq 5 $
Bất phương trình : $\sqrt{\left( x-5   \right).\left(    x-3\right) }+ \sqrt{\left( x+5 \right).\left( x-3 \right) } \leq \sqrt{\left( x-3 \right) \left(    4x-6 \right) } $
$\Leftrightarrow \sqrt{ x-3} \left( \sqrt{ x-5}+ \sqrt{ x+5} \right) \leq \sqrt{ x-3}. \sqrt{ 4x-6}$
Với $x \geq 5 \Rightarrow \sqrt{ x-3}>0 :$ chia hai vế của bất phương trình cho $\sqrt{ x-3}$, ta được :
$\sqrt{ x-5}+ \sqrt{ x+5} \leq \sqrt{ 4x-6}$
$\Leftrightarrow x-5+x+5+2 \sqrt{ x^{2} -25} \leq \sqrt{ 4x-6}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{ x^{2} -25} \leq 2x-6$
$\Leftrightarrow x^{2} -25 \leq x^{2} -6x +9 \Leftrightarrow 6x \leq 39 \Leftrightarrow x \leq \frac{ 17}{3}$
Vậy $5 \leq x \leq \frac{ 17}{3}$
Với $x \leq -5$
Bất phương trình: $\sqrt{ \left(   5-x \right) \left(   3-x \right)} + \sqrt{ \left(-x-5    \right) \left( 3-x \right)} \leq \sqrt{ \left( 3-x   \right) \left( 6-4x   \right)} $
$\Leftrightarrow \sqrt{ 3-x}. \left( \sqrt{ 5-x}+ \sqrt{ -5-x} \right) \leq \sqrt{ 3-x} . \sqrt{ 6-4x}$
$\Leftrightarrow \sqrt{ 5-x}+ \sqrt{ -5-x} \leq \sqrt{ 6-4x}$ do $\sqrt{ 3-x} >0; x \leq -5$
$\Leftrightarrow 5-x-5-x+ 2 \sqrt{ x^{2} -25} \leq 6-4x$
$\Leftrightarrow \sqrt{ x^{2} -25} \leq 3- x$
$\Leftrightarrow x^{2} -25 \leq 9 – 6x + x^{2} \Leftrightarrow 6x \leq 34$
$\Leftrightarrow x \leq \frac{ 17}{3}$ Giao với $x \leq -5$ được $x \leq -5$
Vậy nghiệm của bất phương trình là : $x \leq -5$ hay $ 5 \leq x \leq \frac{ 17}{3}, x=3$

b/ $8+6|3- \sqrt{ x+5}|>x$
Điều kiện: $x \geq -5$
$8+6|3- \sqrt{ x+5}| >x$
$\Leftrightarrow 6|3- \sqrt{ x+5}|>x-8$
•    $-5 \leq x <8,$ bất phương trình luôn nghiệm đúng.
•    Nếu $x>8$ thì $\sqrt{ x+5}> \sqrt{8+5}> 3, $ bất phương trình :
$6 \left( \sqrt{ x+5}-3 \right) > 3-8 \Leftrightarrow 6 \sqrt{ x+5} >x+10$
$\Leftrightarrow 36 \left( x+5 \right) > x^{2} +20x+100$
$\Leftrightarrow x^{2} -16x -80<0 \Leftrightarrow -4 <x<20$
Giao với $x>8$ được $-5 \leq x<20$
Hợp với: $-5 \leq x <8$ được $-5 \leq x <20$

c/ $\frac{ 1}{1- x^{2} }> \frac{ 3x}{\sqrt{ 1-x^{2} }}-1$
Điều kiện: $-1<x<1$
Bất phương trình $\Leftrightarrow \frac{ 1}{1- x^{2} }+1 - \frac{ 3x}{ \sqrt{ 1- x^{2} }}>0$
$\Leftrightarrow \frac{ 2-x^{2} }{1- x^{2} }-\frac{ 3x}{ \sqrt{ 1- x^{2} }}>0 \Leftrightarrow 2+ \frac{ x^{2} }{1- x^{2} }- \frac{ 3x}{ \sqrt{ 1- x^{2} }}>0$
Đặt $\frac{ 1}{\sqrt{ 1- x^{2} }}=t \Rightarrow \frac{ x^{2} }{1- x^{2} }=t^{2} \Rightarrow 2+ t^{2}-3t >0 \Rightarrow t<1$ Hay $t>2$
•    $t<1 \Leftrightarrow \frac{ x}{ \sqrt{ 1- x^{2} }}<1 \Leftrightarrow x < \sqrt{ 1- x^{2} }$
•    Nếu $-1<x<0$ bất phương trình $x< \sqrt{ 1- x^{2} }$ luôn nghiệm đúng.
•    Nếu $x \geq 0$ thì $x< \sqrt{ 1- x^{2} } \Leftrightarrow x^{2} < 1- x^{2} \Leftrightarrow 2 x^{2} -1 <0$
$\Leftrightarrow o \leq x < \frac{ 1}{ \sqrt{ 2}}$
Giao với $-1 <x < \frac{ 1}{\sqrt{ 2}}$
•    $t>2: \frac{ x}{ \sqrt{ 1-x^{2} }}>2 \Leftrightarrow x> 2 \sqrt{ 1- x^{2} }$
$\Rightarrow \begin{cases} x>0   \\ x^{2} > 4- 4 x^{2}     \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}   x>0 \\ 5 x^{2} -4 >0   \end{cases} \Leftrightarrow x > \frac{ 2}{ \sqrt{ 5}} $
Giao với $ -1<x<1$ được $\frac{ 2}{ \sqrt{ 5}}<x<1$
$\Rightarrow $ nghiệm của bất phương trình: $-1 <x< \frac{ 1}{ \sqrt{ 2}}$ hay $\frac{ 2}{ \sqrt{ 5}}<x<1$

d/ $\sqrt{ x-2}+x-5 \geq \sqrt{ 2 x^{2} -18x +46}$
Điều kiện: $\begin{cases} x-2 \geq 0\\ 2 x^{2} -18x +46 \geq 0   \\ x-5 \geq 0    \end{cases} $
Lưu ý rằng $2 x^{2} -18x +46=2 \left(   x-5 \right)^{2} + 2 \left( x-2 \right) $
$\Rightarrow $ Điều kiện: $x \geq 5$
Đặt $\sqrt{ x-1}=u, x-3=v$
$u+v \geq \sqrt{ 2 v^{2}+ 2 u^{2}} $
$\Leftrightarrow u^{2}+v^{2}+2uv \geq 2 v^{2} +2u^{2} $
$\Leftrightarrow 0 \geq u^{2}+v^{2}-2uv \Leftrightarrow \left(u-v    \right)^{2} \leq 0$
$\Leftrightarrow u-v=0 \Leftrightarrow u=v$
$\Leftrightarrow \sqrt{ x-1}= x-3$
$\Leftrightarrow x-1= x^{2} -6x+9 \Leftrightarrow x^{2} x^{2} -7x +10 =0$
$\Leftrightarrow x=2$ Hay $x=5.$ Chọn nghiệm $x=5$

Bài 105306

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105306

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình, bất phương trình vô tỉ

Lý thuyết liên quan