Bài 105805

Question

Cho hàm số $f$ xác định bởi: $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2}\sin \frac{1}{x}\,\,\,\,;\,\,x \ne 0\\
0\,\,\,\,\,\,\,\,;\,\,x = 0
\end{array} \right.$
$1$. Tính đạo hàm của $f$ tại mỗi $x \in R$.
$2$. Chứng tỏ rằng đạo hàm $f’$ không liên tục tại $x = 0.$

Tiểu Bắc · Answer 1 · 5/26/2012 9:37:50 AM

$1.$ Với $x\neq 0$ thì $f^/(x)=2xsin\frac{1}{x} -cos\frac{1}{x} $.
Với $x=0,\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =xsin\frac{1}{x} $
Vì $0\leq |xsin\frac{1}{x} |\leq |x|$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}(xsin\frac{1}{x}) =0$
Do đó $f’(0) = 0.$
$2.$ Ta có: $f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}
2x\sin \frac{1}{x} - c{\rm{os}}\frac{1}{x}\,\,\,\,\,;x \ne 0\\
0\,\,\,;x = 0
\end{array} \right.$
Khi $x\rightarrow 0$ thì $xsin \frac{1}{x}\rightarrow 0 $, còn $cos\frac{1}{x} $ lại không có giới hạn nên $f^/(x)$ không có giới hạn khi $x\rightarrow 0$. Thật vậy, nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}f^/(x) =a$ thì $cos\frac{1}{x}=2xsin\frac{1}{x} -f^/(x)$ cũng có giới hạn là $a$ khi $x\rightarrow 0$. Điều này vô lí.
Vậy $f’$ không liên tục tại $x = 0.$
($g(x)=\cos\frac{1}{x}$ không có giới hạn do :

$\mathop{\lim}\limits_{x\to\frac{1}{\frac{\pi}{2}+k\pi}}g(x)=0 ( k\to+\infty)$

$\mathop{\lim}\limits_{x\to\frac{1}{n2\pi}}g(x)=1( n\to+\infty)$

Như vậy : Khi $x\to 0$ g(x) tiến tới 2 giá trị khác nhau $\Rightarrow g(x)$ không tồn tại giới hạn khi $x\to 0$