Bài 105901

Question

Tam giác $ABC$ là tam giác gì nếu: $\left\{ \begin{array}{l}
\sin 3A + \sin 3B + \sin 3C = 0\\
\cos A\cos B = {\sin ^2}\frac{C}{2}
\end{array} \right.$

Tiểu Bắc · Answer 1 · 5/28/2012 10:00:45 AM

Dễ thiết lập công thức $sin3A+sin3B+sin3C=-4cos\frac{3A}{2} cos\frac{3B}{2} cos\frac{3C}{2}(1) $.
Do đó giả thiết thứ nhất tương đương với một trong các góc của tam giác, chẳng hạn góc $A$, thỏa mãn $cos\frac{3A}{2} =0\Leftrightarrow \frac{3A}{2} =90^0$
(vì $0^0<A<180^0\Rightarrow 0^0<\frac{3A}{2} <270^0)\Leftrightarrow A=60^0$
Giả sử thứ hai $\Leftrightarrow cos(A-B)+cos(A+B)=1-cosC$
$\Leftrightarrow cos(A-B)=1\Leftrightarrow A-B=0\Leftrightarrow A=B$.
Vậy $\Delta ABC$ cân và $1$ góc bằng $60^0\Leftrightarrow \Delta ABC $ đều
(Chứng minh (1):

$\sin 3A+\sin 3B+\sin 3C=2\sin\frac{3A+3B}{2}\cos\frac{3A-3B}{2}+\sin 3C$

$=-2\cos\frac{3C}{2}\cos\frac{3A-3B}{2}+2\sin\frac{3C}{2}\cos\frac{3C}{2}$$=-2\cos\frac{3C}{2}(\cos\frac{3A-3B}{2}+\cos\frac{3A+3B}{2})$

$=-4\cos\frac{3C}{2}\cos\frac{3A}{2}\cos\frac{3B}{2}$)