Bài 106444

Question

Cho tứ diện

$ABCD. Gọi A_1; B_1; C_1; D_1$ tương ứng là trọng tâm của các tam giác

$BCD, ACD$ và

$ABC$ . Gọi

$G$ là giao điểm của

$BB_1; AA_1.$

$1.$ Chứng minh:

$\frac{AG}{AA_1}= \frac{3}{4}$

$2.$ Chứng minh rằng:

$AA_1;BB_1;CC_1;DD_1$ đồng quy.

Tiểu Bắc · Answer 1 · 6/1/2012 9:17:11 AM

$1$ Gọi

$M$ là trung điểm của

$CD$
Vì

$A_1;B_1$ lần lượt là trọng tâm các tam giác

$BCD$ và

$ACD$ nên

$A_1\in BM;B_1\in AM$ và

$\frac{MA_1}{MB}=\frac{MB_1}{MA}=\frac{1}{3}$
Do đó

$A_1B_1//AB$ và

$\frac{A_1B_1}{AB} =\frac{MA_1}{MB}=\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{GA_1}{GA}=\frac{A_1B_1}{AB} =\frac{1}{3}$
Từ đó ta được :

$\frac{AG}{AA_1} =\frac{3}{4}$

$2.$ Ta có vai trò các đường

$AA_1,BB_1,CC_1,DD_1$ như nhau và

$AA_1,BB_1$ cắt nhau tại

$G$ , cũng tương tự ta được các đường khác cũng cắt nhau từng đôi một.thế thì

$CC_1$ cắt

$AA_1,BB_1$ đồng thời

$CC_1$ không nằm trong mặt phẳng

$(ABM)\Rightarrow CC_1$ phải đi qua

$G$ .Vậy

$AA_1,BB_1,CC_1,DD_1$ đồng qui tại

$G$ (đpcm)
Chứng minh tương tự ta được

$DD_1$ đi qua

$G$
Lưu ý : Người ta gọi

$G$ là trọng tâm của tứ diện, các đường

$AA_1,BB_1,CC_1,DD_1$ là trọng tuyến
Ta có :

$\frac{AG}{AA_1}=\frac{BG}{BB_1}=\frac{CG}{CC_1} =\frac{DG}{DD_1} =\frac{3}{4}$

1 Đáp án