Bài 106492

Question

Cho hai đường tròn đồng tâm bán kính

$r$ và

$R (R>r)$ . Tìm cạnh hình vuông có hai đỉnh nằm trên đường tròn bán kính

$r$ và hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn bán kính

$R$ . Tìm tỉ số giữa

$r$ và

$R$ để bài toán giải được.

Tiểu Bắc · Answer 1 · 6/13/2012 10:20:54 PM

Giả sử hình vuông

$ABCD$ có các đỉnh

$B,A$ trên đường tròn bán kính

$R$ , còn hai đỉnh

$C,D$ trên đường tròn bán kính

$r (R>r)$
Đường thẳng

$BC$ cắt đường tròn bán kính

$R$ tại

$P$ và đường tròn bán kính

$r$ tại

$Q$ , lúc đó

$BQ=CP$ . Gọi cạnh hình vuông là

$x$ và tiếp tuyến với đường tròn bán kính

$r$ đi qua

$B$ và

$M$ , ta có:

$BQ.x=BM^2=R^2-r^2; BQ=PB-x=\sqrt{4R^2-x^2}-x$
Suy ra

$-x^2+x\sqrt{4R^2-x^2}=R^2-r^2$

$\Leftrightarrow x^2(4R^2-x^2)=[(R^2-r^2)+x^2)]^2$

$\Leftrightarrow 2x^4-2x^2(R^2+r^2)+(R^2-r^2)^2=0$
Đặt

$x^2=Y>0$ , ta có:

$2Y^2-2Y(R^2+r^2)+(R^2-r^2)^2=0 (1)$
Nếu

$Y_1$ và

$Y_2$ là nghiệm của phương trình

$(1)$ thì:

$\begin{cases}x_1^2+x_2^2=Y_1+Y_2=R^2+r^2 \\ (x_1x_2)^2=Y_1.Y_2=\frac{(R^2-r^2)^2}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}(x_1+x_2)^2=R^2+r^2+\sqrt{2}(R^2-r^2) \\ (x_1-x_2)^2=R^2+r^2-\sqrt{2}(R^2-r^2) \end{cases} (2)$
Nghiệm của

$(2)$ là:

$\begin{cases}x_1=\frac{1}{2}[\sqrt{R^2+r^2+\sqrt{2}(R^2-r^2)}+\sqrt{R^2+r^2-\sqrt{2}(R^2-r^2)}] \\ x_2=\frac{1}{2}\sqrt{[R^2+r^2+\sqrt{2}(R^2-r^2)}-\sqrt{R^2+r^2-\sqrt{2}(R^2-r^2)} \end{cases} (*)$
Ta xét biểu thức:

$R^2+r^2-\sqrt{2}(R^2-r^2)$

$=R^2(1-\sqrt{2})+r^2(1+\sqrt{2})=r^2[\frac{R^2}{r^2}(1-\sqrt{2})+1+\sqrt{2}]$
- Nếu

$\frac{R^2}{r^2}(1-\sqrt{2})+1+\sqrt{2}>0 \Leftrightarrow \frac{R^2}{r^2}>\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=(1+\sqrt{2})^2$

$\Leftrightarrow \frac{R}{r}>1+\sqrt{2}$ , phương trình

$(1)$ có hai nghiệm (*).
- Nếu

$\frac{R}{r}=1+\sqrt{2}$ , phương trình có nghiệm kép, tức là

$x_1=x_2=r\sqrt{(2+\sqrt{2}})$

Bài 106492

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106492

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan