Bài 106515

Question

Cho hình cầu nội tiếp một hình chóp tam giác đều. Biết tỉ số thể tích hình chóp và thể tích hình cầu bằng

$k$ . Xác định góc nghiêng giữa mặt bên và đáy hình chóp. Xác định giá trị của

$k$ để bài toán giải được.

Tiểu Bắc · Answer 1 · 6/13/2012 10:23:26 PM

Gọi bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp bằng

$r$ , góc nghiêng

$\widehat {DEC}=x$ và

$HE=a, V_{ch}$ là thể tích hình chóp,

$V_c$ là thể tích hình cầu.
Ta có:

$r=a\tan \frac{x}{2}.DH=a\tan x, AB=2\sqrt{3}a^3\tan x$

$V_{ch}=\frac{1}{2}CE.AB\frac{1}{3}DH=\sqrt{3}a^3\tan x$

$=\sqrt{3}a^3\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1-\tan^2 \frac{x}{2}}$

$V_c=\frac{4}{3}\pi.a^3\tan^3\frac{x}{2}; \frac{V_{ch}}{V_c}=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}.\frac{2}{(1-\tan^2\frac{x}{2}).\tan^2\frac{x}{2}}=k$

$\Leftrightarrow \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}=k(1-\tan^2 \frac{x}{2}).\tan^2\frac{x}{2} (1)$
Đặt

$\tan^2 \frac{x}{2}=X, k=X.\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}, (1)$ trở thành:

$X^2-X+\frac{1}{K}=0 (2)$
Nghiệm của phương trình

$(2) X=\frac{1\pm \sqrt{\frac{K-4}{K}}}{2}$

$X$ tồn tại nếu

$K>4 \Rightarrow k>\frac{6\sqrt{3}}{\pi}$ . Hơn nữa, với

$K>4$ thì

$(2)$ cho hai nghiệm dương

$x$ được tính từ

$\tan^2 \frac{x}{2}=X$
Vì

$x$ là góc nhọn nên lấy

$\tan \frac{x}{2}=\sqrt{X} \Rightarrow \frac{x}{2}=\arctan \sqrt{X}$

$\Rightarrow x=2\arctan \sqrt{X}$ có hai giá trị

$X$ nên cũng có hai giá trị

$x$

1 Đáp án