Bài 106927

Question

Chứng minh rằng một đường thẳng cắt cả ba cạnh của một tam giác khi và chỉ khi nó đi qua một đỉnh của tam giác

Thu Hằng · Answer 1 · 6/5/2012 3:07:14 PM

Rõ ràng một đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác sẽ cắt cả ba cạnh của tam giác.

Ngược lại, giả sử có một đường thẳng

$d$ cắt cả ba cạnh của một tam giác

$ABC$ . Ta sẽ chứng minh rằng

$d$ phải đi qua một đỉnh của tam giác. Giả sử ngược lại là

$d$ không đi qua đỉnh nào của tam giác cả. Khi đó

$d$ chia mặt phẳng ra làm hai miền. Theo nguyên tắc Dirichlet, tồn tại một miền chứa ít nhất hai đỉnh, không mất tổng quát là đỉnh

$A$ và đỉnh

$B$ . Khi đó cạnh

$AB$ nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng này và không thể cắt

$d$ được, mâu thuẫn với giả thiết là

$d$ cắt tất cả ba cạnh của tam giác

$ABC$ . Vậy

$d$ phải đi qua một đỉnh của tam giác

$ABC$ .

1 Đáp án