Bài 106961

Question

Cho hai điểm

$B, C$ cố định nằm trên đường tròn

$(O;R)$ và điểm

$A$ thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quỹ tích trực tâm

$H$ của tam giác

$ABC$ .

phuongna · Answer 1 · 6/5/2012 4:40:03 PM

Giả sử đường thẳng

$AH$ cắt đường tròn

$(O;R)$ tại

$H'$ . Đầu tiên ta chứng minh rằng điểm

$H$ đối xứng với

$H'$ qua đường thẳng

$BC$ . Thật vậy, gọi

$AA'$ là đường kính của đường tròn

$(O;R)$ thì

$A'B \parallel CH$ (vì cùng vuông góc với

$AB$ ) và

$A'C \parallel BH$ (vì cùng vuông góc với

$AC$ , suy ra

$A'BHC$ là hình bình hành. Vậy

$BC$ đi qua trung điểm của

$HA$ . Mặt khác

$BC \parallel A'H'$ (vì cùng vuông góc với

$AH$ ) nên

$BC$ cũng đi qua trung điểm

$HH'$ . Từ đó,

$H$ và

$H'$ đối xứng với nhau qua

$BC$ .
Bây giờ, gọi

$Đ_{BC}$ là phép đối xứng có trục là đường thẳng

$BC$ thì

$Đ_{BC}$ biến

$H'$ thành

$H$ . Mặt khác,

$H'$ luôn luôn nằm trên đường tròn

$(O;R)$ nên quỹ tích

$H$ là ảnh của đường tròn đó qua phép đối xứng

$Đ_{BC}$ .

1 Đáp án