Bài 107113

Question

Cho hình lập phương

$ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng

$a$ . Giả sử

$M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh

$BC, DD'$

a) Chứng minh rằng

$MN//mp(A'BD)$

B) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

$MN, BD$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/7/2012 9:13:38 AM

a) Chọn hệ trục tọa độ

$Oxyz$ như sau:

Gốc

$O\equiv A$

Trục

$Ox$ đi qua

$AB$

Trục

$Oy$ đi qua

$AD$

Trục

$Oz$ đi qua

$AA'$

Khi đó

$A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a)$

Phương trình mặt phẳng

$(A'BD)$ có dạng:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1\Leftrightarrow x+y+z-a=0$

Vecto pháp tuyến của

$A'BD:\overrightarrow{n}:(1;1;1)$

$M$ là trung điểm của

$BC\Rightarrow M(a;\frac{a}{2};0 )$

$N$ là trung điểm của

$DD'\Rightarrow N(0;a;\frac{a}{2} )$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=(-a;\frac{a}{2};\frac{a}{2} ) \Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{MN} =-a+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}=0\Rightarrow \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{MN}$

vậy

$MN//(A'BD)$

b) Ta có:

$MN//(A'BD)$ chứa

$BD$

$\Rightarrow$ khoảng cách giữa

$MN$ và

$BD$ là khoảng cách từ

$M$ đến mặt phẳng

$(A'BD)$

$\Rightarrow d(MN,BD)=d(M,(A'BD))=\frac{|a+\frac{a}{2}-a |}{\sqrt{3} }=\frac{a}{2\sqrt{3} } =\frac{a\sqrt{3} }{6}$

Bài 107113

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107113

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan