Bài 107175

Question

Cho hia nhà máy $A$ và $B$. Hai nhà máy này nằm ở phía bên này và bên kia của một con sông, và giả sử hai bờ sông là hia đường thẳng song song. Cần phải xây một cây cầu vuông góc với dòng sông để nối liền hai nhà máy. Hỏi phải đặt địa điểm cầu ở đâu để con đường đi từ $A$ tới $B$ là ngắn nhất ?

phuongna · Answer 1 · 6/7/2012 11:04:00 AM

Giả sử hai bờ sông là hai đường thẳng $d \parallel d'$, các nhà máy $A$ và $B$ nằm ở vị trí như hình vẽ. Gọi $\overrightarrow{a}$ là vectơ vuông góc với dòng sông theo chiều đi từ nhà máy $A$ tới nhà máy $B$ và có độ dài bằng bề rộng của con sông. Gọi $A'$ là ảnh của $A$ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{a}$.
Giả sử chiếc cầu là $MN$, với $MN$ vuông góc $d$ và $d'$. Lúc đó, con đường đi từ $A$ tới $B$ là $AMNB$.
Như vậy, ta cần chọn $M, N$ sao cho tổng $AM+MN+NB$ nhỏ nhất. Ta có $AM+NB=A'N+NB \geq A'B;$
$AM+MN+NB=AM+|\overrightarrow{a}|+NB \geq A'B+|\overrightarrow{a} |,$ đẳng thức xảy ra khi $N$ là giao điểm của $A'B$ và $d'$.
Từ đó, dễ dàng suy ra cách dựng hai điểm $M$ và $N$.

Bài 107175

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107175

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan