Bài 107278

Question

Cho ba tia

$Ox,Oy,Oz$ đôi một vuông góc với nhau. Xét tam diện

$Oxyz$ . Điểm

$M$ cố định nằm bên trong tam diện, một mặt phẳng

$(\alpha)$ qua

$M$ cắt

$Ox,Oy,Oz$ tại

$A,B,C$ . Gọi khoảng cách từ

$M$ đến

$(OBC),(OCA),(OAB)$ lần lượt là

$a,b,c$
a) Chứng minh

$\triangle ABC$ không phải là tam giác vuông.
b) Tính

$OA,OB,OC$ theo

$a,b,c$ để thể tích tứ diện

$OABC$ nhỏ nhất.
c) Tính

$OA,OB,OC$ theo

$a,b,c$ để tổng

$OA+OB+OC$ nhỏ nhất

lee.yeez · Answer 1 · 6/10/2012 11:20:33 AM

a) Giả sử

$\triangle ABC$ vuông tại

$A$ , ta có:

$\begin{cases} BA \bot AC\\ BA \bot OC \end{cases} \Rightarrow BA\bot (COA) \Rightarrow BA \bot OA$
Như vậy qua

$B$ có hai đường trẳng phân biệt cùng vuông góc với

$OA$ và cùng ở trong mp

$(Oxy)$ : vô lý
Vậy

$\triangle ABC$ không thể vuông tại

$A$ . Cũng vậy

$\triangle ABC$ không thể vuông tại

$B$ và

$C$ .
b) Hạ

$MI,MJ,MK$ vuông góc với ba mặt

$(yOz),(zOx),(xOy)$
Theo giả thiết:

$MI=a, MJ=b,MK=c$ (cho sẵn)
* Trước hết ta chứng minh hệ thức:

$\frac{a}{OA}+\frac{b}{OB}+\frac{c}{OC}=1 (1)$
Nối

$MA,MB,MC,MO$ . Tứ diện

$OABC$ bị chia thành ba tứ diện đỉnh

$M$ ba mặt là

$OBC,OCA,OAB$ mà chiều cao lần lượt là

$a,b,c$
Do đó:

$V_{OABC}=V_{M.BOC}+V_{M.COA}+V_{M.AOB}$
Hay là:

$\frac{1}{6}OA.OB.Oc=\frac{1}{6}OB.OC.a+\frac{1}{6}.OA.OB.c+\frac{1}{6}OC.OA.b$
Chia hai vế cho

$\frac{1}{6}OA.OB.OC$ ta được :

$1=\frac{a}{OA}+\frac{b}{OB}+\frac{c}{OC}$
* Áp dụng bất dẳng thức Cô-si cho ba số

$\frac{a}{OA},\frac{b}{OB},\frac{c}{OC}$ và nhờ

$(1)$ ta được:

$1\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{OA}.\frac{b}{OB}.\frac{c}{OC}} \Leftrightarrow OA.OB.OC \geq 27 \Leftrightarrow V\geq \frac{9}{2}abc$
Suy ra

$V_{\min}=\frac{9}{2}abc$ xảy ra khi và chỉ khi:

$\frac{a}{OA}=\frac{b}{OB}=\frac{c}{OC}=\frac{1}{3} \Leftrightarrow \begin{cases}OA=3a \\ OB=3b \\ OC=3c \end{cases}$
c) Nhờ bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki và nhờ

$(1)$ ta có:

$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2=(\sqrt{\frac{a}{OA}}.\sqrt{OA}+\sqrt{\frac{b}{OB}}.\sqrt{OB}+\sqrt{\frac{c}{OC}}.\sqrt{OC})^2$

$\leq (\frac{a}{OA}+\frac{b}{OB}+\frac{c}{OC})(OA+OB+OC)=Oa+OB+OC$
Vậy

$(OA+OB+OC)_{\min}=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$ ứng với khi đẳng thức xảy ra tức là khi:

$\frac{\sqrt{\frac{a}{OA}}}{\sqrt{OA}}=\frac{\sqrt{\frac{b}{OB}}}{\sqrt{OB}}=\frac{\sqrt{\frac{c}{OC}}}{\sqrt{OC}} \Rightarrow \frac{\sqrt{a}}{OA}+\frac{\sqrt{b}}{Ob}+\frac{\sqrt{c}}{OC}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{OA+OB+OC}$

$\Rightarrow \begin{cases}\frac{\sqrt{a}}{OA}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} \\ \frac{\sqrt{b}}{OB}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} \\ \frac{\sqrt{a}}{Oc}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}OA=\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \\ OB=\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \\ OC=\sqrt{c}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \end{cases}$

Bài 107278

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107278

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan