Bài 107324

Question

Chứng minh rằng:

$a) \arctan x-\frac{\pi}{4}\geq \ln (x^{2}+1)-\ln 2,\forall x\in [\frac{1}{2},1]$

$b)\arctan x \geq x-\frac{x^{3}}{3},\forall x\geq 0$

$c) \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+|y-2|\geq 2+\sqrt{3},\forall x,y\in R$

huyenhana164 · Answer 1 · 6/8/2012 9:58:46 AM

a)Xét:

$f(t)=\arctan t-\ln (t^{2}+1),t\in [x,1]$

$x\in [\frac{1}{2},1],$ để ý:

$x=1$ BĐT luôn đúng.

$f'(t)=\frac{1}{1+t^{2}}-\frac{2t}{1+t^{2}}=\frac{1-2t}{1+t^{2}}\leq 0$

Suy ra hàm số nghịch biến

$\Rightarrow f(x)\geq f(1)$

$\Rightarrow \arctan x-\ln (x^{2}+1)\geq \frac{\pi}{4}-\ln 2$

$\Rightarrow \arctan x-\frac{\pi}{4}\geq \ln (x^{2}+1)-\ln 2$

$\Rightarrow$ (ĐPCM)

b)Xét:

$f(x)=\arctan x-(x-\frac{x^{3}}{3}),\forall x\geq 0$

$f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}-1+x^{2}=\frac{x^{4}}{1+x^{2}}\geq 0,\forall x\geq 0$

Bảng biến thiên:

Vậy:

$f(x)\geq 0,\forall x\geq 0 \Rightarrow \arctan x \geq x-\frac{x^{3}}{3},\forall x\geq 0$

$\Rightarrow$ (ĐPCM)

c)Trong mặt phẳng

$Oxy$ ,xét

$M(x-1,y)$ và

$N(x+1,-y)$ .Khi đó:

$OM+ON\geq MN$

$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}\geq \sqrt{4+4y^{2}}$

*Nếu

$y>2$ thì:

$2\sqrt{1+y^{2}}+|y-2|>2\sqrt5>2+\sqrt{3}$

*Nếu

$y\leq 2$ thì:

$2\sqrt{1+y^{2}}+|y-2|=2\sqrt{1+y^{2}}+2-y=f(y)$

$f'(y)=\frac{2y}{\sqrt{1+y^{2}}}-1=0 \Leftrightarrow y=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bảng biến thiên:

Suy ra:

$2\sqrt{1+y^{2}}+|y-2|\geq 2+\sqrt{3},\forall y\in R$

Vậy:

$\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+|y-2|\geq 2+\sqrt{3},\forall x,y\in R$

$\Rightarrow$ (ĐPCM)

1 Đáp án