Bài 107344

Question

a)Cho

$p,q>0:\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1;u,v\geq 0$

Chứng minh rằng:

$u.v\leq \frac{u^{p}}{p}+\frac{v^{q}}{q}$

b)Cho:

$f,g:[a,b]\to R$ liên tục và

$p,q$ ở câu (a) ta luôn có:

$\int\limits_{a}^{b}|f(x).g(x)|dx\leq (\int\limits_{a}^{b} |f(x)|^{p}dx)^\frac{1}{p}(\int\limits_{a}^{b} |g(x)|^{q}dx)^\frac{1}{q}$

(BĐT Holder)

Tiểu Bắc · Answer 1 · 6/19/2012 8:17:32 PM

a)Xét:

$f(u)=\frac{u^{p}}{p}+\frac{v^{q}}{q}-uv,u\geq 0$

(Xem:

$v>0$ vì

$v=0$ :BĐT luôn đúng)

$f'(u)=u^{p-1}-v=0 \Leftrightarrow u^{p-1}=v \Leftrightarrow u=v^{\frac{q}{p}}$

Bảng biến thiên:

Vậy:

$uv\leq \frac{u^{p}}{p}+\frac{v^{q}}{q}$

b)*Nếu:

$\int\limits_{a}^{b} |f(x)|^{p}dx=0$ hay

$\int\limits_{a}^{b} |g(x)|^{q}dx=0$ thì

$f\equiv 0$ hay

$g\equiv 0$ :BĐT luôn đúng.

Xét

$\int\limits_{a}^{b} |f(x)|^{p}dx>0$ và

$\int\limits_{a}^{b} |g(x)|^{q}dx>0$

Áp dụng BĐT câu (a):

Với:

$\begin{cases} u=\frac{|f(x)|}{(\int\limits_{a}^{b} |f(x)|^{p}dx)^\frac{1}{p}}>0 \\ v=\frac{|g(x)|}{(\int\limits_{a}^{b} |g(x)|^{q}dx)^\frac{1}{q}}>0 \end{cases}$

$uv\leq \frac{u^{p}}{p}+\frac{v^{q}}{q}$ (1)

Lấy tích phân từ

$a \to b$ 2 vế BĐT (1) ta được:

$\int\limits_{a}^{b} uvdx\leq \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

Vậy:

$\int\limits_{a}^{b}|f(x).g(x)|dx\leq (\int\limits_{a}^{b} |f(x)|^{p}dx)^\frac{1}{p}(\int\limits_{a}^{b} |g(x)|^{q}dx)^\frac{1}{q}$

$\Rightarrow$ (ĐPCM)

Bài 107344

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107344

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan