Giẳ sử $z=a+bi (a, b\in R)$ ta lần lượt có:
$\alpha =\frac{i^{2013-i} }{\overline{z} -1}-z^2+(\overline{z} )^2=\frac{i-i}{\overline{z} -1} -|z|^2+|\overline{z} |^2=-(a^2-b^2)+(a^2+b^2)$
$=2b^2$, là số thực,
$\beta=\frac{z^3-z}{z-1}+(\overline{z} )^2+\overline{z}=z^2+z+1+(\overline{z} )^2+\overline{z} $
$=(a^2-b^2)+(a+bi)+1+(a^2+b^2)+(a-bi)=2a^2+2a+1$, là số thực