Bài 108097

Question

Tìm nghiệm

$x,y$ nguyên của phương trình sau:

$x^2-6xy+13y^2=100$

Thu Hằng · Answer 1 · 6/14/2012 11:19:48 AM

Ta có:

$x^2-6xy+13y^2=100 \Leftrightarrow (x-3y)^2=100-4y^2$

$\Leftrightarrow (x-3y)^2=4(25-y^2)$

$(1)$
Vì

$(x-3y)^2 \geq 0$ nên

$25-y^2 \geq 0 \Leftrightarrow y^2 \leq 25 \Leftrightarrow |y| \leq 5$ .
Ngoài ra, từ

$(1)$ ta suy ra

$25-y^2$ là số chính phương. Do đó

$y=0, \pm 3, \pm 4, \pm 5$ .
Lần lượt thay các giá trị trên vào phương trình ban đầu, phương trình đã cho có các nghiệm nguyên sau:

$(\pm 10,0),(17,3),(-17,-3),(-1,-3),(1,3),$

$(18,4),(-18,-4),(6,4),(-6,-4),(15,5),(-15,-5)$ .

1 Đáp án