Bài 108156

Question

Cho tứ giác

$ABCD$ .Chứng minh rằng:
a.Có một điểm

$O$ duy nhất sao cho:

$\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}=\overrightarrow {0}$
Điểm

$O$ được gọi là trọng tâm của bốn điểm

$A,B,C,D$ .Tuy nhiên, người ta vẫn gọi quen

$O$ là trọng tâm của tứ giác

$ABCD.$
b.Trọng tâm

$O$ là trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối các trung điểm hai cạnh đối của tứ giác,nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của tứ giác.
c.Trọng tâm

$O$ nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.

huyenhana164 · Answer 1 · 6/14/2012 4:15:51 PM

a.Giả sử có điểm

$O_{1}$ thỏa mãn:

$\overrightarrow {0}=\overrightarrow {O_{1}A}+\overrightarrow {O_{1}B}+\overrightarrow {O_{1}C}+\overrightarrow {O_{1}D}$

$=4\overrightarrow {O_{1}O}+\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}=4\overrightarrow {O_{1}O}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {O_{1}O}=\overrightarrow {0}\Leftrightarrow O_{1}\equiv O$
Vậy,tồn tại một điểm

$O$ duy nhất thỏa mãn hệ thức vecto đã cho.
b.Gọi

$M,N,P,Q,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của

$AB,BC,CD,DA,AC,BD$ ,ta có lần lượt chứng minh:
*

$O$ là trung điểm

$MP$ (đoạn nối trung điểm của hai cạnh

$AB$ và

$CD$ ),thật vậy:

$\overrightarrow {0}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}=2\overrightarrow {OM}+2\overrightarrow {OP}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {OM}+\overrightarrow {OP}=\overrightarrow {0}$

$\Leftrightarrow O$ là trung điểm

$MP$ .
*

$O$ là trung điểm

$NQ$ (đoạn nối trung điểm của hai cạnh

$BC$ và

$DA$ ),thật vậy:

$\overrightarrow {0}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}=2\overrightarrow {ON}+2\overrightarrow {OQ}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {ON}+\overrightarrow {OQ}=\overrightarrow {0}$

$\Leftrightarrow O$ là trung điểm

$NQ$ .
*

$O$ là trung điểm

$EF$ (đoạn nối trung điểm của hai đường chéo

$AC$ và

$BD$ ),thật vậy:

$\overrightarrow {0}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}=2\overrightarrow {OE}+2\overrightarrow {OF}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {OE}+\overrightarrow {OF}=\overrightarrow {0}$

$\Leftrightarrow O$ là trung điểm

$EF$ .
c.Gọi

$G$ là trọng tâm

$\triangle ABC$ ,ta có:

$\overrightarrow {0}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}=3\overrightarrow {OG}+\overrightarrow {OD}=-3\overrightarrow {GO}+(\overrightarrow {GD}-\overrightarrow {GO})$

$\Leftrightarrow\overrightarrow {GD}=4\overrightarrow {GO}$

$\Rightarrow G,O,D$ thẳng hàng.
Vậy trọng tâm

$O$ nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.