Bài 108282

Question

Cho đường tròn cố định và một đường thẳng

$\Delta$ cố định không cắt đường tròn.

$M$ là một điểm chạy trên

$\Delta$ . Vẽ hai tiếp tuyến

$MT_1,MT_2$ tới đường tròn đã cho (ở đây

$T_1,T_2$ là tiếp điểm). Chứng minh rằng khi

$M$ chạy trên

$\Delta$ , thì các đường thẳng nối

$T_1,T_2$ luôn đi qua một điểm cố định

Tiểu Bắc · Answer 1 · 6/15/2012 3:13:14 PM

Gọi

$O$ là tâm đường tròn.Vẽ hệ trục tọa độ

$Oxy$ .Giả sử trong hệ trục tọa độ ấy đường tròn đã cho có phương trình

$x^2+y^2=R^2$ và điểm

$M$ trên

$\Delta$ có tọa độ

$M(x_0;y_0)$ .Giả sử các tiếp điểm

$T_1;T_2$ có tọa độ

$T_1(x_1;y_1),T_2(x_2;y_2)$
Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại

$T_1$ là :

$xx_1+yy_1-R^2=0$
Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại

$T_2$ là :

$xx_2+yy_2+R^2=0$
Do hai tiếp tuyến đều qua

$M(x_0;y_0)$ nên ta có :

$\begin{cases}x_0x_1+y_0y_1-R^2=0 (1) \\ x_0x_2+y_0y_2-R^2=0 (2) \end{cases}$
Từ

$(1),(2)$ suy ra

$(x_1;y_1), (x_2;y_2)$ là nghiệm của phương trình :

$x_0x+y_0y-R^2=0 (3)$
Vì

$M$ ở ngoài đường tròn nên

$x_0^2+y_0^2\neq 0$ , do đó :

$(3)$ là phương trình đường thẳng, mà qua

$T_1,T_2$ chỉ có một đường thẳng duy nhất, nên

$(3)$ chính là phương trình của đường thẳng qua

$T_1,T_2$
Giả sử trong các hệ nói trên

$\Delta$ có phương trình dưới dạng tham số sau :

$\begin{cases}x=a+\alpha t \\ y=b+\beta t \end{cases}$ với

$t\in R$
Do

$\Delta$ không cắt đường tròn, nên nói riêng nó không đi qua gốc tọa

$O$ , tức là ta có :

$\frac{a}{b} \neq \frac{\alpha}{\beta} \Leftrightarrow a\beta-b\alpha\neq 0 (4)$
Vì

$M(x_0;y_0)\in \Delta$ nên ta có :

$\begin{cases}x_0=a+\alpha t_0 \\ y_0=b+\beta t_0 \end{cases}$
Thay vào

$(3)$ ta thấy đường thẳng qua

$T_1;T_2$ có phương trình là :

$(a+\alpha t_0)x+(b+\beta t_0)y-R^2=0$

$\Leftrightarrow (\alpha x+\beta y)t_0+(ax+by-R^2)=0$
Vậy ta có phương trình họ đường thẳng qua

$T_1,T_2$ với tham số

$t\in R$ là :

$(\alpha x+\beta y)t_0+(ax+by-R^2)=0 (5)$
Gọi

$x*;y*$ là điểm mà họ

$(5)$ luôn qua

$\forall t$ ta có :

$(\alpha x*+\beta y*)t+(ax*+by*-R^2)=0\forall t (6)$
Từ

$(6)$ nên suy ra hệ sau đây để xác định

$(x*;y*):\begin{cases}\alpha x*+\beta y*=0 \\ ax*+by*=R^2 \end{cases}$
Do

$(4)$ nên suy ra hệ trên có nghiệm duy nhất :

$x*=\frac{\beta R^2}{a\beta-b\alpha} ;y*=\frac{\alpha R^2}{b\alpha-a\beta}$
Vậy họ đường thẳng

$T_1;T_2$ luôn đi qua điểm cố định :

$S(\frac{\beta R^2}{a\beta-b\alpha};\frac{\alpha R^2}{b\alpha-a\beta} )$

Bài 108282

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108282

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan