Bài 108788

Question

Cho hình lập phương

$ABCD.A_1B_1C_1D_1$ cạnh

$a$ . Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng

$A_1B; B_1D$ .

letienhoang1412 · Answer 1 · 6/19/2012 9:20:50 PM

Ta có:

$A_1B\bot B_1A (BAA_1B_1$ là hình vuông );

$A_1B \bot AD$ ( vì

$AD \bot (BAA_1B_1)$ )

$\Rightarrow A_1B \bot (B_1AD) \Rightarrow A_1B\bot B_1D (1)$
Vì

$DD_1 \bot (A_1B_1C_1D_1) \Rightarrow DD_1 \bot A_1C_1$ .
Do

$A_1B_1C_1D_1$ là hình vuông nên

$A_1C_1 \bot B_1D_1$ .
Từ đó

$A_1C_1 \bot (B_1D_1D)\Rightarrow A_1C \bot B_1D (2)$
Từ

$(1),(2)$ suy ra

$B_1D\bot (A_1BC_1) (3)$
Bây giờ ta tìm giao điểm của

$B_1D$ với

$(A_1BC_1)$ .
Gọi

$H$ là giao điểm của

$A_1B, AB_1$ .

Trong mặt chéo

$B_1A_1DA$ rõ ràng

$HC_1 \cap B_1D =G$ .
Do

$B_1H=HA=\frac{1}{2}C_1D\Rightarrow GH=\frac{1}{2}GC_1 \Rightarrow G$ là trọng tâm của tam giác

$A_1BC_1$ .
Vì

$A_1BC_1$ là tam giác đều nên

$GH \bot A_1B$ con

$GH\bot B_1D$ vì

$B_1D\bot (A_1B_1C_1)$ .
Như thế

$GH$ là đương vuông góc chung của

$A_1B$ và

$B_1D$ nên nó chính là khoảng cách giữa

$A_1B; B_1D$ .
Ta có:

$GH=\frac{1}{3}C_1H=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{6}\Rightarrow d(A_1B,B_1D)=\frac{a\sqrt{6}}{6}$ .

1 Đáp án