Bài 108811

Question

a) Chứng minh chu kỳ của hàm số

$y=f(x)=A \sin \left( wt + \alpha \right)$ là

$\frac{ 2 \pi}{w} (w \neq 0, A \neq 0)$
b) Chứng minh chu kỳ của hàm số

$y=g(x)=A \tan \left(wt+ \alpha \right)$ là

$\frac{ \pi}{w} (w \neq 0, A \neq 0)$

Dung Holsu · Answer 1 · 6/19/2012 11:37:26 PM

a) Với mọi

$x \in R$ thì

$\left( x+ \frac{ 2\pi}{w} \right) \in R$

Ta có

$f(x+ \frac{ 2\pi}{w})=A \sin[w \left(x+ \frac{ 2\pi}{w} \right)+ \alpha ]=A\sin \left( wx+\alpha \right) =f(x)(*)$

Vậy

$f(x)$ là hàm số tuần hoàn. Bây giờ ta sẽ chứng minh

$\frac{ 2\pi}{w}$ là số dương nhỏ nhất thỏa mãn (*).

Thật vậy, giả sử

$0<x<T$ mà

$f(x+T)=f(x), \forall x\in R.$

Vậy ta có

$A\sin \left( wx+\alpha \right) =A\sin [w \left( x+T \right) +\alpha] \forall x\in R$ .

Khi

$x=0 \Rightarrow A\sin \alpha=A\sin \left( wT+\alpha \right) \Rightarrow wT=k2\pi \Rightarrow T= \frac{ k2\pi}{w} (k\in Z).$

Điều này trái với giả thiết

$0<T<\frac{ 2\pi}{w}.$

Do đó hàm số

$y=f(x)=A\sin \left( wx+\alpha \right)$ là hàm số tuần hoàn có chu kỳ là

$\frac{ 2\pi}{w}$ (với

$A \neq 0, w \neq 0$ ).

b) Cũng chứng minh tương tự hàm số

$y=g(x)=\tan \left( wx+\alpha \right)$ là hàm số tuần hoàn có chu kì là

$\frac{ \pi}{w}$ (với

$A \neq 0, w \neq 0$ ).

1 Đáp án