Bài 110257

Question

Trong

$\Delta ABC$ , nếu có:

a)

$\div \tan \frac{ A}{2}, \tan \frac{ B}{2}, \tan \frac{ C}{2}$ thì có

$\div \cos A, \cos B, \cos C$

b)

$\div \cot \frac{ A}{2}, \cot \frac{ B}{2}, \cot \frac{ C}{2}$ thì có

$\div a, b, c.$

Dung Holsu · Answer 1 · 7/2/2012 7:26:32 AM

a) Theo tính chất của cấp số cộng:

$\tan \frac{ A}{2}+ \tan \frac{ C}{2}= 2 \tan \frac{ B}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{ \sin \frac{ A+C}{2}}{ \cos \frac{ A}{2} \cos \frac{ C}{2}}= \frac{ 2 \sin \frac{ B}{2}}{ \cos \frac{ B}{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{ \cos \frac{ B}{2}}{ \cos \frac{ A}{2} \cos \frac{ C}{2}}= \frac{ 2 \sin \frac{ B}{2}}{ \cos \frac{ B}{2}}$

$\Leftrightarrow \cos^{2} \frac{ B}{2}= \sin \frac{ B}{2} \left(\cos \frac{ A+C}{2}+\cos \frac{ A-C}{2} \right)$
Do

$\sin \frac{ B}{2} =\cos \frac{ A+C}{2}$ nên

$\Leftrightarrow 1+ \cos B=2 \sin^{2} \frac{ B}{2}+ 2 \cos \frac{ A+C}{2}.\cos \frac{ A-C}{2}$

$\Leftrightarrow 1+ \cos B= 1- \cos B+ \cos A+ \cos C$

$\Leftrightarrow 2 \cos B= \cos A+ \cos C$ .

$\Rightarrow \cos A;\cos B;\cos C$ lập thành cấp số cộng.
Vậy ta có đpcm.

b) Theo tính chất của cấp số cộng:

$\cot \frac{ A}{2}+ \cot \frac{ C}{2}= 2 \cot \frac{ B}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{ \sin \frac{ A+C}{2}}{ \sin \frac{ A}{2} \sin \frac{ C}{2}}= \frac{ 2 \cos \frac{ B}{2}}{ \sin \frac{ B}{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{ \cos \frac{ B}{2}}{ \sin \frac{ A}{2} \sin \frac{ C}{2}}= \frac{ 2 \cos \frac{ B}{2}}{ \sin \frac{ B}{2}}$

$\Leftrightarrow \cos\frac{ B}{2}\sin\frac{ B}{2}= \cos \frac{ B}{2} \left(-\cos \frac{ A+C}{2}+\cos \frac{ A-C}{2} \right)$
Do

$\sin \frac{ B}{2} =\cos \frac{ A+C}{2};\cos \frac{ B}{2} =\sin \frac{ A+C}{2}$ nên

$\Leftrightarrow 2\cos\frac{ B}{2}\sin\frac{ B}{2}=-2 \cos \frac{ B}{2}\sin \frac{ B}{2}+ 2 \sin \frac{ A+C}{2}.\cos \frac{ A-C}{2}$

$\Leftrightarrow \sin B= -\sin B+ \sin A+ \sin C$

$\Leftrightarrow 2 \sin B= \sin A+ \sin C$ .

$\Leftrightarrow 2.2R\sin B=2R\sin A+2R\sin C$

$\Leftrightarrow 2b=a+c.$

$\Rightarrow a;b;c$ lập thành cấp số cộng.
Vậy ta có đpcm.

1 Đáp án