Bài 110327

Question

Cho tứ diện

$ABCD$ .Gọi

$E,I,F,H,K,J$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh

$AB,BC,CD,DA,AC,BD$

$a.$ Chứng minh rằng ba đoạn thẳng

$FE,HI,KJ$ đồng quy tại điểm

$G$ là trung điểm của mỗi đoạn

$b.$ Gọi

$G_1,G_2,G_3,G_4$ theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác

$BCD,ACD,ABD,ABC$
Chứng minh rằng các đường thẳng

$AG_1,BG_2,CG_3,DG_4$ cũng đồng quy tại điểm

$G$ trên đây

$c.$ Chứng minh hệ thức :

$\overrightarrow {GG_1}=-\frac{1}{3} \overrightarrow {GA}$

$\overrightarrow {GG_2}=-\frac{1}{3} \overrightarrow {GB}$

$\overrightarrow {GG_3}=-\frac{1}{3} \overrightarrow {GC}$

$\overrightarrow {GG_4}=-\frac{1}{3} \overrightarrow {GD}$

Tiểu Bắc · Answer 1 · 7/2/2012 3:18:42 PM

$a.$ Trong tam giác

$ABC,EI$ là đường trung bình nên :

$EI//AC$ và

$EI=\frac{1}{2} AC (1)$
Trong tam giác

$ACD,HF$ là đường trung bình nên :

$HF//AC$ và

$HF=\frac{1}{2} AC (2)$
Từ

$(1),(2)$ suy ra :

$EI//HF$ và

$EI=HF$
Suy ra tứ giác

$EIFH$ là hình bình hành, hai đường chéo

$EF,IH$ cắt nhau tại trung điểm

$G$ của mỗi đường.
Chứng minh tương tự, ta có tức giác

$EJFK$ cũng là hình bình hành, hai đường chéo

$EF,KJ$ cắt nhau tại giao điểm là trung điểm mỗi đường, suy ra

$KJ$ đi qua

$G$

$b.$ Gọi

$P$ là trung điểm của

$BG_1$ suy ra

$G_1$ là trung điểm của

$PF$
Trong

$\Delta EPF,GG_1$ là đường trung bình nên :

$GG_1//EP (3)$
Trong

$\Delta BAG_1$ thì

$EP$ là đường trung bình nên

$AG_1//EP (4)$
Từ

$(3),(4)$ và theo tiên đề Euclide áp dụng trong mặt phẳng

$(BAF)$ thì ba điểm

$A,G,G_1$ thẳng hàng hay

$AG_1$ đi qua

$G.$ Chứng minh tương tự ta có

$BG_2,CG_3,DG_4$ cùng đi qua

$G$

$c.$ Từ kết quả trên ta có :

$GG_1=\frac{1}{2} EP$ và

$EF=\frac{1}{2} AG_1\Rightarrow GG_1=\frac{1}{4} AG_1$
Từ đây suy ra :

$\overrightarrow {GG_1}=-\frac{1}{3} \overrightarrow {GA}$
các kết quả khác cũng chứng minh tương tự

Bài 110327

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110327

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan